Русская Википедия:Символы Шёнфлиса
Символы Шёнфлиса — одно из обозначений точечных групп симметрии, наряду с символами Германа — Могена. Предложены немецким математиком Артуром Шёнфлисом в книге «Kristallsysteme und Kristallstruktur» в 1891.[1] Могут также использоваться для обозначения пространственных групп (трёхмерной кристаллографической группы).
Обозначение точечных групп
При точечной симметрии хотя бы одна точка сохраняет своё положение. Точечные группы симметрии в трёхмерном пространстве можно разделить на несколько семейств. В символах Шёнфлиса они описываются следующим образом:
- Сn, циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.
- Cnv (от Шаблон:Lang-de — вертикальный) — группы с n вертикальными плоскостями симметрии, расположенными вдоль оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
- Cnh (от Шаблон:Lang-de — горизонтальный) — группы c горизонтальной плоскостью симметрии, перпендикулярной к оси симметрии.
- S2n (от Шаблон:Lang-de — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии. Индекс оси всегда чётный, так как при нечётном индексе зеркальная ось является просто комбинацией оси симметрии и перпендикулярной к ней плоскости, то есть Sn = Cnh для нечётного n.
- Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
- Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i. Как правило, используется только Сi (для n = 1), но иногда в литературе встречаются обозначения типа С3i, С5i.
- Dn — является группой Сn с дополнительными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной (главной) оси.
- Dnh — также имеет горизонтальную и n вертикальных плоскостей симметрии.
- Dnd (от Шаблон:Lang-de — диагональный) — также имеет n вертикальных плоскостей симметрии, идущих по диагонали между горизонтальными осями второго порядка.
Группа D2 иногда раньше обозначалась как V (от Шаблон:Lang-de — четверная группа), а группы D2h и D2d как Vh и Vd, соответственно.
- T, O, I — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка (порядок оси n больше или равен 3). Добавление индекса h указывает на наличие горизонтальной плоскости и, как следствие, вертикальных плоскостей симметрии и центра инверсии. Добавление индекса d к группе T указывает на наличие диагональных плоскостей симметрии. Отличие группы Td от Th в том, что первая не содержит центра инверсии, а вторая содержит, зато Td содержит три инверсионных оси четвёртого порядка, в то время как в Th таких осей нет.
- T, Th, Td - совокупность поворотных осей в тетраэдре (только поворотные оси 2-го и 3-го порядков).
- O, Oh - совокупность поворотных осей в октаэдре или кубе (поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го порядков).
- I, Ih - совокупность поворотных осей в икосаэдре или додекаэдре (поворотные оси 2-го, 3-го и 5-го порядков).
Иногда икосаэдрические группы I и Ih обозначаются как Y и Yh.
Группы, в которых не более одной оси высшего порядка, можно расположить в следующей таблице
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | <math>\infty</math> |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cn | C1 | C2 | C3 | C4 | C5 | C6 | C7 | C8 | …
|
C∞ |
| Cnv | C1v = Cs | C2v | C3v | C4v | C5v | C6v | C7v | C8v | …
|
C∞v |
| Cnh | C1h = Cs | C2h | C3h | C4h | C5h | C6h | C7h | C8h | …
|
C∞h |
| Sn | S1 = Cs | S2 = Ci | S3 = C3h | S4 | S5 = C5h | S6 | S7 = C7h | S8 | …
|
S∞ = C∞h |
| Cni | C1i = Ci | C2i = Cs | C3i = S6 | C4i = S4 | C5i = S10 | C6i = C3h | C7i = S14 | C8i = S8 | …
|
C∞i = C∞h |
| Dn | D1 = C2 | D2 = V | D3 | D4 | D5 | D6 | D7 | D8 | …
|
D∞ |
| Dnh | D1h = C2v | D2h = Vh | D3h | D4h | D5h | D6h | D7h | D8h | ...
|
D∞h |
| Dnd | D1d = C2h | D2d = Vd | D3d | D4d | D5d | D6d | D7d | D8d | …
|
D∞d = D∞h |
Бордовым цветом отмечены не употребляемые варианты обозначений групп.
В кристаллографии из-за наличия трансляционной симметрии кристаллической структуры n может принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 6. Некристаллографические точечные группы даны на сером фоне. D4d и D6d также являются некристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядка 8 и 12, соответственно. 27 кристаллографических точечных групп из таблицы и пять групп T, Td, Th, O и Oh составляют все 32 кристаллографические точечные группы симметрии.
Группы с <math>n = \infty</math> называются предельными группами[2] или группами Кюри. К ним относятся ещё две группы, не представленные в таблице. Это группа всех возможных вращений вокруг всех осей проходящих через точку, K (от Шаблон:Lang-de — шар) — группа вращений, а также группа Kh, которая описывает симметрию шара — максимально возможную точечную симметрию в трёхмерном пространстве; все точечные группы являются подгруппами группы Kh. Иногда эти группы обозначаются также R(3) (от Шаблон:Lang-en — вращение) и Rh(3). В математике и теоретической физике их обычно обозначают как SO(3) и O(3) (специальная ортогональная группа в трёхмерном пространстве и ортогональная группа в трёхмерном пространстве).
Обозначение пространственных групп
Если в пространственной группе убрать трансляционные компоненты (то есть убрать трансляции и заменить винтовые оси на обычные оси, а плоскости скользящего отражения на зеркальные плоскости), то получится соответствующая пространственной группе точечная группа — одна из 32-х кристаллографических точечных групп. Символ Шёнфлиса пространственной группы образуется из символа соответствующей точечной группы с дополнительным верхним цифровым индексом, так как обычно одной точечной группе соответствует сразу несколько пространственных групп (максимум — 28 пространственных групп для группы D2h). При этом индекс не даёт никакой дополнительной информации об элементах симметрии группы, а просто связан с тем, в какой последовательности Шёнфлис выводил 230 пространственных групп. Таким образом, символ Шёнфлиса для пространственной группы не только ничего не говорит об ориентации элементов симметрии по отношению к осям ячейки, но даже не даёт информации о центрировке ячейки и трансляционной составляющей осей и плоскостей симметрии. Чтобы получить полную информацию о пространственной группе из символа Шёнфлиса, надо пользоваться таблицей, в которой сопоставлены эти символы символам Германа-Могена. Например, такая таблица дана в списке пространственных групп или здесь.
См. также
Внешние ссылки
- Теория симметрии кристаллов Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская
- Симметрия и структурные классы атомно-молекулярных систем. Апериодические системы
- Symmetry @ Otterbein - Галерея молекул, на которых можно показать элементы симметрии и как они действуют
- Symmetry @ Otterbein - Примеры определения симметрии молекул
Литература
- Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрическая кристаллография, МГУ, 1973
- Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992
- Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000 (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
- П. М. Зоркий. Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986 (доступно on-line http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html)
- Р. Фларри, Группы симметрии. Теория и химические приложения, М.: Мир, 1983
- И. Харгитаи, Симметрия глазами химика. - М.: Мир, 1991 (страница 99)
Примечания
.
