Русская Википедия:Символ Гильберта

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Символ Гильберта, или символ норменного вычета, — функция двух аргументов из <math>K^\times \times K^\times</math> в группу корней <math>n</math>-й степени из единицы в локальном поле <math>K</math> (например в поле действительных чисел или в поле p-адических чисел. Он связан с законами взаимности, и может быть определён через символ Артина локальной теории полей классов. Символ Гильберта был введён в его Zahlbericht, с небольшим отличием, что он определял его скорее для элементов глобальных полей, чем для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта обобщается на высшие локальные поля.

Квадратичный символ Гильберта

Пусть <math>K</math> — локальное поле, а <math>K^\times</math> — его мультипликативная группа ненулевых элементов. Квадратичный символ Гильберта над <math>K</math> — это функция <math>(a,b)</math> из <math>K^\times \times K^\times</math> в <math>\{-1;1\}</math>, определённая как

<math>(a,b)=\begin{cases}

1,&\mbox{ если }z^2=ax^2+by^2\mbox{ имеет ненулевое решение }(x,y,z)\in K^3;\\ -1,&\mbox{ в противном случае.} \end{cases}</math>

Свойства

Следующие три свойства прямо следуют из определения с помощью выбора подходящего решения для диофантова уравнения, указанного в определении, и выполняются для любого локального поля <math>K</math>:

  • <math>(a^2,b)=1</math> для любых <math>a,b</math>.
  • <math>(a,b)=(b,a)</math> для любых <math>a,b</math>.
  • Для любого <math>a\in K^\times</math>, такого что <math>a-1\in K^\times</math>, верно, что <math>(a,1-a)=1</math>

Бимультипликативность, то есть

<math>(a, b_1b_2) = (a, b_1)\cdot (a, b_2)</math>

для любых <math>a,b_1,b_2\in K^\times</math>. Это свойство является более трудным для доказательства и требует разработки локальной теории полей классов.

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Штейнберга и, таким образом, factors над второй K-группе Милнора <math>K^M_2 (K)</math>, которая определяется как

<math>K^\times \otimes K^\times / (a \otimes (1-a), a \in K \setminus \{0;1\})</math>

По первому свойству он even factors над <math>K^M_2 (K) / 2</math>. Это первый шаг в направлении к гипотезе Милнора.

Интерпретация как алгебры

Символ Гильберта может быть также использован для обозначения центральной простой алгебры над <math>K</math> с базисом <math>1,i,j,k</math> и правилами умножения <math>i^2=a</math>, <math>j^2=b</math>, <math>ij=-ji=k</math>.

Символы Гильберта над рациональными числами

Для точки (англ. place) <math>v</math> из поля рациональных чисел и рациональных чисел <math>a,b</math> обозначим <math>(a,b)_v</math> символ Гильберта в соответствующем пополнении <math>\mathbb{Q}_v</math>. Как обычно, если <math>v</math> это показатель, связанный с простым числом <math>p</math>, то соответствующее пополнение является полем <math>p</math>-адических чисел, а если <math>v</math> является бесконечной точкой, то пополнение является полем действительных чисел.

В поле действительных чисел, <math>(a, b)_\infty=+1</math> тогда и только тогда, когда <math>a>0</math> или <math>b>0</math>, и <math>(a, b)_\infty=-1</math>, если оба <math>a,b<0</math>.

Над <math>p</math>-адическими числами с нечётным <math>p</math> положим <math>a=p^{\alpha}u</math> и <math>b=p^{\beta}v</math>, где <math>u,v</math> — целые числа, взаимно простые с <math>p</math>, тогда мы получим

<math>(a,b)_p = (-1)^{\alpha\beta\epsilon(p)} \left(\frac{u}{p}\right)^\beta \left(\frac{v}{p}\right)^\alpha</math>, где <math>\epsilon(p) = (p-1)/2</math>

а <math>\left(\frac{u}{p}\right), \left(\frac{v}{p}\right)</math> — символы Лежандра.

Над <math>2</math>-адическими числами положим <math>a=2^{\alpha}u</math> и <math>b=2^{\beta}v</math>, где <math>u,v</math> — нечётные числа, тогда мы получим

<math>(a,b)_2 = (-1)^{\epsilon(u)\epsilon(v) + \alpha\omega(v) + \beta\omega(u)}</math>, where <math>\omega(x) = (x^2-1)/8.</math>

Известно, что если <math>v</math> пробегает все точки (англ. place), <math>(a,b)_v=1</math> для почти всех точек. Следовательно, следующая формула с бесконечным произведением

<math>\prod_v (a,b)_v = 1</math>

имеет смысл. Эта формула эквивалентна квадратичному закону взаимности.

Радикал Капланского

Символ Гильберта на поле <math>F</math> определяется как отображение

<math> (\cdot,\cdot) : F^{\times}/(F^{\times})^2 \times F^{\times}/(F^{\times})^2 \rightarrow \mathop{Br}(F) </math>

где <math>\mathop{Br}(F)</math> — группа Брауэра поля <math>F</math>. Ядро этого отображения — множество всех элементов <math>a</math> таких, что <math>(a,b)=1</math> для всех <math>b</math> — это радикал Капланского поля <math>F</math>.[1]

Радикал является подгруппой <math>F^{\times}/(F^{\times})^2</math>, отождествляемой с подгруппой of <math>F^{\times}</math>. Радикал содержит группу, равную <math>F^{\times}</math> если и только если <math>F</math> не является формально вещественным и имеет u-инвариант не более 2.[2] С другой стороны, поле с радикалом <math>(F^{\times})^2</math> называется полем Гильберта.[3]

Символ Гильберта в общем случае

Если <math>K</math> локальное поле, содержащее группу корней <math>n</math>-й степени из единицы <math>U_n</math> для некоторого <math>n</math>, взаимно простого с характеристикой <math>K</math>, то символ Гильберта — это функция из <math>K^\times \times K^\times</math> в <math>U_n</math>. Его можно выразить через символ Артина как[4]

<math> (a,b)\sqrt[n]{b} = (a,K(\sqrt[n]{b})/K)\sqrt[n]{b}</math>

Свойства

Символ Гильберта мультипликативен по обеим аргументам (билинеен):

<math>(ab,c) = (a,c)(b,c)</math>
<math>(a,bc) = (a,b)(a,c)</math>

кососимметричен:

<math>(a,b) = (b,a)^{-1}</math>

невырожден:

<math>(a,b)=1</math> для всех <math>b</math> тогда и только тогда, когда <math>a\in(K^{\times})^n</math>

Он замечает норму (поэтому и называется символ норменного вычета):

<math>(a,b)=1</math> тогда и только тогда, когда <math>a</math> — норма элемента из <math>K(\sqrt[n]{b})</math>

Он обладает свойствами символа Штейнберга:

<math>(a,1-a)=1; (a,-a)=1.</math>

Закон взаимности Гильберта

Закон взаимности Гильберта утверждает, что если <math>a,b</math> лежат в поле алгебраических чисел, которое содержит корни <math>n</math>-й степени из единицы, то[5]

<math>\prod_p (a,b)_p=1</math>

где <math>p</math> пробегает конечные и бесконечные простые числового поля, а <math>(a,b)_p</math> — это символ Гильберта в пополнении по <math>p</math>. Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта через символ Артина.

Символ степенного вычета

Если <math>K</math> — числовое поле, содержащее корни <math>n</math>-й степени из единицы, <math>p</math> — простой идеал, не делящий <math>n</math>, <math>\pi</math> — простой элемент локального поля от <math>p</math>, а <math>a</math> взаимно просто с <math>p</math>, то символ степенного вычета <math>\binom{a}{p}</math>, связанный с символом Гильберта соотношением[6]

<math>\binom{a}{p} = (\pi,a)_p</math>

Символ степенного вычета расширяется до дробных идеалов по мультипликативности и определяется для элементов поля чисел, полагая <math>\binom{a}{b}=\binom{a}{(b)}</math>, где <math>(b)</math> — главный идеал, порождённый <math>b</math>. Закон взаимности Гильберта влечёт следующий закон взаимности для символа степенного вычета: для взаимно простых <math>a,b</math> друг к другу и к <math>n</math>:

<math>\binom{a}{b}=\binom{b}{a}\prod_{p|n,\infty}(a,b)_p</math>

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Lam (2005) pp.450-451
  2. ↑ Lam (2005) p.451
  3. ↑ Lam (2005) p.455
  4. ↑ Neukirch (1999) p.333
  5. ↑ Neukirch (1999) p.334
  6. ↑ Neukirch (1999) p.336
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Символ_Гильберта&oldid=10795795