Русская Википедия:Символ Кронекера

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Distinguish Символ Кронекера (или дельта Кронекера или кронекериан) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна Шаблон:Num1, если они равны, и Шаблон:Num1 в противном случае:

<math>\delta_{ij} = \begin{cases}

1, & i = j, \\ 0, & i \ne j. \end{cases}</math> Например, <math>\delta_{12} = 0</math>, но <math>\delta_{33} = 1</math>.

Использование

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса <math>(e_i, e_j) = \delta_{ij}</math>, а также — в общем случае — для определения дуальных базисов <math>(e_i, f^j) = \delta_i^j</math>, где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n: <math>(\delta_{ij})_{i,j=1}^n</math> (элементы единичной матрицы записываются как <math>\delta_{ij}</math>).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как единичный тензор. В частности, могут использоваться различные написания <math>\delta_{ij}, \delta^i_j, \delta^{ij}</math> для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров — соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом важно отметить, что обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера. Иначе говоря, в общем случае <math>\delta_{ij}, \delta^i_j, \delta^{ij}</math> — не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех).

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

История

Символ был введён Кронекером в 1866 году.

См. также

• Символ Леви-Чивиты
• Дельта-функция