Русская Википедия:Символ Леви-Чивиты
Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается <math> \varepsilon_{ijk}</math>. Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см. ниже).
Другие названия:
- абсолютно антисимметричный единичный тензор,
- полностью антисимметричный единичный тензор,
- абсолютно кососимметричный объект,
- тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора),
- кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга).
Определение
В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:
- <math> \varepsilon_{ijk} =
\begin{cases} +1, & P(i, j, k) = +1, \\ -1, & P(i, j, k) = -1, \\ 0, & i = j \bigvee j = k \bigvee k = i, \end{cases} </math>
то есть для чётной перестановки индексов i, j, k он равен 1 (для троек (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), для нечётной перестановки равен -1 (для троек (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), а в остальных случаях равен нулю (при наличии повторяющихся индексов). Для компонент <math>\varepsilon_{ijk}</math> в левом базисе берутся противоположные числа.
Для общего случая (произвольных косоугольных координат с правой ориентацией базисных векторов) это определение обычно меняется на
- <math> \varepsilon_{ijk} =
\begin{cases} +\sqrt{g}, & P(i, j, k) = +1, \\ -\sqrt{g}, & P(i, j, k) = -1, \\ 0 & i = j \bigvee j = k \bigvee k = i, \end{cases} </math>
где <math>g</math> — определитель матрицы метрического тензора <math>g_{ij}</math>, представляющий квадрат объёма параллелепипеда, натянутого на базис. Аналогично, для левого базиса берутся противоположные числа.
Такой набор компонент <math>\varepsilon_{ijk}</math> представляет собой (истинный) тензор. Если, как это иногда делается в литературе, в качестве определения <math>\varepsilon_{ijk}</math> использовать приведённые выше формулы для любой — как правой, так и левой — системы координат, то получившийся набор чисел будет представлять псевдотензор. При этом <math>\varepsilon^{ijk}</math> будет таким же, но с заменой <math>\sqrt{g}</math> на <math>1/\sqrt{g}.</math>
<math>\varepsilon_{ijk}</math> может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:
- <math>\varepsilon_{ijk} = [\vec{e}_i \vec{e}_j \vec{e}_k].</math>
Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объёму параллелепипеда, натянутого на базис <math>\{\vec {e_i}\}</math>. Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведённым выше.
Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя <math>\sqrt{g}</math> в любых базисах (то есть таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в определении выше для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на <math>\sqrt{g}</math> объект (совпадающий с <math>\varepsilon_{ijk}</math> в определении выше и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, элементом объёма. Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трёхмерного пространства, но и для любой размерности.)
Геометрический смысл
Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объёмом и ориентированной площадью, представленной как вектор.
В трёхмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трёх векторов
- <math>V = \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k</math>
— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора <math>\vec{a}</math>, <math>\vec{b}</math> и <math>\vec{c}</math>.
Векторное произведение двух векторов
- <math> S_i = \varepsilon_{ijk} a^j b^k </math>
— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math>, представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.
Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать <math>\varepsilon</math> с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объём, а под площадью — (n − 1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n − 1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:
- <math> V = \varepsilon_{ijkm} a^i b^j c^k d^m,</math>
- <math> S_i = \varepsilon_{ijkm} a^j b^k c^m.</math>
Свойства
- Определитель матрицы A размера 3×3 можно записать (здесь подразумевается стандартный, а следовательно ортонормированный базис) как
- <math>
\begin{vmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3 \\
\end{vmatrix}
=\sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_i b_j c_k. </math>
- Векторное произведение двух пространственных векторов записывается через этот символ:
- <math>
\vec{a} \times \vec{b} =\sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \vec{e}^i a^j b^k = \vec{c}</math>, где <math>c_i = \sum_{j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^j b^k</math> — его компоненты, а <math>\vec{e}^i</math> — векторы базиса.
- Смешанное произведение векторов тоже:
- <math>[\vec{a}\vec{b}\vec{c}] = \sum_{i,j,k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a^i b^j c^k.</math>
- В следующей формуле <math>\delta</math> обозначает символ Кронекера:
- <math>
\varepsilon_{ijk}\varepsilon^{lmn} = \begin{vmatrix} \delta_i^l & \delta_i^m& \delta_i^n\\ \delta_j^l & \delta_j^m& \delta_j^n\\ \delta_k^l & \delta_k^m& \delta_k^n\\ \end{vmatrix}. </math>
- Суммирование по общему индексу даёт
- <math>
\sum_{i=1}^3 \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}. </math>
- В случае двух общих индексов <math>i, j</math> тензор сворачивается следующим образом:
- <math>
\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}. </math>
(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)
Обобщение на случай n измерений
Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:
<math>\varepsilon_{ijkl\dots} = \left\{\begin{matrix} \! \\ \! \\ \! \end{matrix}\right.</math> <math>+\sqrt{g},</math> если <math>(i, j, k, l, \dots)</math> есть чётная перестановка набора <math>(1, 2, 3, 4, \dots);</math> <math>-\sqrt{g},</math> если <math>(i, j, k, l, \dots)</math> есть нечётная перестановка набора <math>(1, 2, 3, 4, \dots);</math> <math>0</math>, если хотя бы два индекса совпадают.
То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики <math> \sqrt{g} = \sqrt{\det{\{g_{ij}\}}} </math> в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора <math>(1, 2, 3, \dots, n)</math>, а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства <math>n</math>.)
- В псевдоевклидовых пространствах в случае, если сигнатура метрики такова, что <math>g < 0</math>, вместо него как правило берут <math>-g</math>, чтобы <math>\sqrt{g}</math> получался вещественным.
- Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определён метрический тензор, или, скажем, <math> \det{\{g_{ij}\}} = 0 </math> или <math> \det{\{g^{ij}\}} = 0 </math>.
Можно показать, что для <math>n</math> измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:
- <math>
\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \varepsilon_{ijk\dots} \varepsilon^{ijk\dots} = n! </math>
- — что связано с тем, что существует <math>n!</math> перестановок набора <math>(1, 2, 3, \dots, n)</math>, а следовательно, столько же ненулевых компонент <math>\varepsilon</math> с <math>n</math> индексами.
- <math> \varepsilon_{ijk\dots}\varepsilon^{pqr\dots} = \begin{vmatrix}
\delta_i^p & \delta_i^q & \delta_i^r & \dots \\ \delta_j^p & \delta_j^q & \delta_j^r & \dots \\ \delta_k^p & \delta_k^q & \delta_k^r & \dots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \\ \end{vmatrix}. </math>
- После раскрытия определителя появляется множитель <math>n!</math> и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.
- Псевдоскалярное произведение двух векторов в двумерном пространстве:
- <math>\vec a \vee \vec b = \sum_{i,j=1}^2 \varepsilon_{ij} a^i b^j.</math>
- Определитель матрицы <math>A</math> размера <math>n \times n</math> можно удобно записать с использованием <math>n</math>-мерного символа Леви-Чивиты
- <math>
\det{A} = \sum_{i,j,k,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} A_{1i} A_{2j} A_{3k} \cdots = \sum_{i_1,i_2,i_3,\ldots,i_n=1}^n \varepsilon_{i_1 i_2 i_3 \cdots i_n} A_{1 i_1} A_{2 i_2} A_{3 i_3} \cdots A_{n i_n}, </math>
- что является, по сути, просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространённых). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты <math> \varepsilon_{ijk\ldots} </math> принимают тут значения <math>\pm 1</math>.
- Прямое <math>n</math>-мерное обобщение векторного произведения <math>n - 1</math> штук (<math>n</math>-мерных) векторов:
- <math>
\vec{p} = {\vec a \times \vec b \times \vec c \times \ldots} = \sum_{i,j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} \vec f^i a^j b^k c^m \ldots,</math>
- где <math>p_i = \sum_{j,k,m,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijkm\ldots} a^j b^k c^m \ldots</math> — его компоненты, а <math>\vec{f}^i</math> — базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе.)
- Прямое <math>n</math>-мерное обобщение смешанного произведения <math>n</math> штук (<math>n</math>-мерных) векторов:
- <math>[\vec{a}\vec{b}\vec{c}\ldots] = \sum_{i,j,k,\ldots=1}^n \varepsilon_{ijk\ldots} a^i b^j c^k \ldots.</math>
Безындексная запись (для n измерений)
В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:
- <math>(*\eta)_{i_1,i_2,\ldots,i_{n-k}}=\frac{1}{k!} \eta^{j_1,\ldots,j_k}\varepsilon_{j_1,\ldots,j_k,i_1,\ldots,i_{n-k}}</math>
(для произвольного тензора <math>\eta,</math> учитывая эйнштейновское правило суммирования).
См. также
Ссылки
- Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. с. 31).
- Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W. H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
- Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация. — Шаблон:М: Мир, 1977 (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).
- Димитриенко Ю. И., Тензорное исчисление, Шаблон:М: Высшая школа, 2001. — 575 с.
