Русская Википедия:Симметрическая группа
(таблица умножения матриц перестановок)
Имеются следующие позиции шести матриц:
Файл:Symmetric group 3; Cayley table; positions.svg Таблица несимметрична относительно главной диагонали, то есть группа не абелева.
Симметрическая группа — группа всех перестановок заданного множества <math>X</math> (то есть биекций <math>X\to X</math>) относительно операции композиции.
Симметрическая группа множества <math>X</math> обычно обозначается <math>S(X)</math>. Если <math>X=\{1,2,...,n\}</math>, то <math>S(X)</math> также обозначается через <math>S_n</math>. Поскольку для равномощных множеств (<math>|X|=|Y|</math>) изоморфны и их группы перестановок (<math>S(X)\cong S(Y)</math>), то для конечной группы порядка <math>n</math> группу её перестановок отождествляют с <math>S_n</math>.
Нейтральным элементом в симметрической группе является тождественная перестановка <math>\mathrm{id}(x)=x</math>.
Группы перестановок
Хотя обычно группой перестановок (или подстановок) называют саму симметрическую группу, иногда, особенно в англоязычной литературе, группами перестановок множества <math>X</math> называют подгруппы симметрической группы <math>S(X)</math>[1]. Степенью группы в таком случае называется мощность <math>X</math>.
Каждая конечная группа <math>G</math> изоморфна некоторой подгруппе группы <math>S(G)</math> (теорема Кэли).
Свойства
Число элементов симметрической группы для конечного множества равно числу перестановок элементов, то есть факториалу мощности: <math>|S_n| = n!</math>. При <math>n \geqslant 3</math> симметрическая группа <math>S_n</math> некоммутативна.
Симметрическая группа <math>S_n</math> допускает следующее задание:
- <math>\langle\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_i^2,(\sigma_i\sigma_{i+1})^3,\sigma_i\sigma_{j}=\sigma_j\sigma_i\ \text{if}\ |i-j|>1\rangle</math>.
Можно считать, что <math>\sigma_i</math> переставляет <math>i</math> и <math>i+1</math>. Максимальный порядок элементов группы <math>S_n</math> — функция Ландау.
Группы <math>S_1, S_2, S_3, S_4</math> разрешимы, при <math>n \geqslant 5</math> симметрическая группа <math>S_n</math> является неразрешимой.
Симметрическая группа является совершенной (то есть отображение сопряжения является изоморфизмом) тогда и только тогда, когда её порядок отличен от 2 и 6 (теорема Гёльдера). В случае <math>n=6</math> группа <math>S_6</math> имеет ещё один Шаблон:Нп5. В силу этого и предыдущего свойства при <math>n \geqslant 3, n\neq 6</math> все автоморфизмы <math>S_n</math> являются внутренними, то есть каждый автоморфизм <math>\alpha(x)</math> имеет вид <math>g^{-1}xg</math> для некоторого <math>g\in S_n</math>.
Число классов сопряжённых элементов симметрической группы <math>S_n</math> равно числу разбиений числа <math>n</math>[2]. Множество транспозиций <math>(12),(23),...,(n-1 \ n)</math> является порождающим множеством <math>S_n</math>. С другой стороны, все эти транспозиции порождаются всего двумя перестановками <math>(12),(12...n)</math>, так что минимальное число образующих симметрической группы равно двум.
Центр симметрической группы тривиален при <math>n \geqslant 3</math>. Коммутантом <math>S_n</math> является знакопеременная группа <math>A_n</math>; причём при <math>n\neq 4</math> <math>A_n</math> — единственная нетривиальная нормальная подгруппа <math>S_n</math>, а <math>S_4</math> имеет ещё одну нормальную подгруппу — четверную группу Клейна.
Представления
Любая подгруппа <math>G</math> группы перестановок <math>S_n</math> представима группой матриц из <math>SL(n,\Z)</math>, при этом каждой перестановке <math>\pi: i\to\pi (i)</math> соответствует перестановочная матрица (матрица, у которой все элементы в ячейках <math>(i,\pi(i))</math> равны 1, а прочие элементы равны нулю); например, перестановка <math>(231)</math> представляется следующей матрицей <math>3\times 3</math>:
- <math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
Подгруппа такой группы, составленная из матриц с определителем, равным 1, изоморфна знакопеременной группе <math>A_n</math>.
Существуют и другие представления симметрических групп, например, группа симметрии (состоящая из вращений и отражений) додекаэдра изоморфна <math>S_5</math>, а группа вращений куба изоморфна <math>S_4</math>.
См. также
Примечания
Литература
- ↑ Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982. — 561 с.
- ↑ Шаблон:OEIS
