Русская Википедия:Симметрическое пространство
Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.
История
Начало изучению симметрических пространств было положено Эли Картаном. В частности им была получена классификация в 1926 году.
Примеры
- Евклидово пространство,
- сферы,
- Различные проективные пространства с естественной метрикой.
- Пространство Лобачевского
- Компактные полупростые групп Ли с би-инвариантной римановой метрикой.
- Любая компактная поверхность рода 2 и выше (с метрикой постоянной кривизны <math>-1</math>) является локально симметрическим пространством, но не симметрическим пространством.
Определение
Пусть <math>M</math>— связное Риманово многообразие и <math>p</math> —точка в <math>M</math>.
Отображение <math>s_p\colon M \to M</math> называется геодезической симметрией с центром в точке <math>p</math>, если
- <math>s_p\circ\exp_p= -\exp_p.</math>
Отображение <math>s_p\colon U \to U</math>, определённое на <math>\varepsilon</math>-окрестности <math>U</math> точки <math>p</math>, называется локальной геодезической симметрией с центром в точке <math>p</math>, если
- <math>s_p\circ\exp_p(v)= -\exp_p(v)</math>
при <math>|v|<\varepsilon</math>.
Риманово многообразие <math>M</math> называется симметрическим, если центральная симметрия определена для каждой точки и при этом является изометрией <math>M</math>.
Если то же условие выполняется для локальной геодезической симметрии, то <math>M</math> называется локально симметрическим пространством.
Связанные определения
- Односвязное симметрическое пространство считается неприводимым, если оно не изометрично произведению двух или более римановых симметрических пространств.
- Неприводимое симметрическое пространство называется пространством компактного типа, если оно имеет неотрицательную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
- Неприводимое симметрическое пространство называется пространством некомпактного типа, если оно имеет неположительную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
- Рангом симметрического пространства называется максимальная размерность подпространства касательного пространства в некоторой (а значит — в любой) точке, на котором кривизна равна тождественно нулю.
Свойства
- Риманово многообразие является локально симметрическим тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен.
- Любое односвязное, полное локально симметрическое пространство является симметрическим.
- В частности, универсальное накрытие локально симметрического пространства является симметрическим.
- Группа изометрий симметрического пространства действует на нём транзитивно.
- В частности, любое симметрическое пространство является однородным пространством <math>G/K</math>, где <math>G</math> — группа Ли и <math>K</math> — её подгруппа.
- Любое односвязное симметрическое пространство изометрично произведению неприводимых.
- Ранг симметрического пространства всегда не меньше 1.
- Если ранг равен 1, то секционная кривизна положительна или отрицательна во всех секционных направлениях, и пространство является неприводимым.
- Пространства евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности.
Классификация
Любое симметрическое пространство является однородным <math>G/K</math>, ниже дана классификация через <math>G</math> и <math>K</math>, обозначения прострнаств те же, что у Картана.
| Обозначение | G | K | Размерность | Ранг | Геометрическое описание |
|---|---|---|---|---|---|
| AI | <math>\mathrm{SU}(n)</math> | <math>\mathrm{SO}(n)</math> | <math>(n-1)(n+2)/2</math> | n − 1 | Пространство всех вещественных структур на <math>\mathbb{C}^n</math> сохраняющих комплексный определитель |
| AII | <math>\mathrm{SU}(2n)</math> | <math>\mathrm{Sp}(n)</math> | <math>(n-1)(2n+1) </math> | n − 1 | Пространство кватернионных структур на <math>\mathbb{C}^{2n}</math> с фиксированной Эрмитовой метрикой |
| AIII | <math>\mathrm{SU}(p+q)</math> | <math>\mathrm{S}(\mathrm{U}(p) \times \mathrm{U}(q))</math> | <math>2pq </math> | min(p,q) | Грассманиан комплексных p-мерных подпрастранств в <math>\mathbb{C}^{p+q}</math> |
| BDI | <math>\mathrm{SO}(p+q)</math> | <math>\mathrm{SO}(p) \times \mathrm{SO}(q)</math> | <math> pq </math> | min(p,q) | Грассманиан ориентированных p-мерных <math>\mathbb{R}^{p+q}</math> |
| DIII | <math>\mathrm{SO}(2n)</math> | <math>\mathrm{U}(n)</math> | <math> n(n-1) </math> | [n/2] | Пространство ортогональных комплексных структур на <math>\mathbb{R}^{2n}</math> |
| CI | <math>\mathrm{Sp}(n)</math> | <math>\mathrm{U}(n)</math> | <math> n(n+1) </math> | n | Пространство комплексных структур на <math>\mathbb{H}^n</math> сохраняющих скалярное произведение |
| CII | <math>\mathrm{Sp}(p+q)</math> | <math>\mathrm{Sp}(p) \times \mathrm{Sp}(q)</math> | <math> 4pq </math> | min(p,q) | Грассманиан кватернионных p-мерных подпрастранств в <math>\mathbb{H}^{p+q}</math> |
| EI | <math>E_6</math> | <math>\mathrm{Sp}(4)/\{\pm I\}</math> | 42 | 6 | |
| EII | <math>E_6</math> | <math>\mathrm{SU}(6)\cdot\mathrm{SU}(2)</math> | 40 | 4 | Пространство симметрических подпространств в <math>(\mathbb C\otimes\mathbb O)P^2</math> исометричных <math>(\mathbb C\otimes \mathbb H)P^2</math> |
| EIII | <math>E_6</math> | <math>\mathrm{SO}(10)\cdot\mathrm{SO}(2)</math> | 32 | 2 | Комплексифицированная проективная плоскость Келли <math>(\mathbb C\otimes\mathbb O)P^2</math> |
| EIV | <math>E_6</math> | <math>F_4</math> | 26 | 2 | Пространство симметрических подпространств в <math>(\mathbb C\otimes\mathbb O)P^2</math> изометричных <math>\mathbb{OP}^2</math> |
| EV | <math>E_7</math> | <math>\mathrm{SU}(8)/\{\pm I\}</math> | 70 | 7 | |
| EVI | <math>E_7</math> | <math>\mathrm{SO}(12)\cdot\mathrm{SU}(2)</math> | 64 | 4 | |
| EVII | <math>E_7</math> | <math>E_6\cdot\mathrm{SO}(2)</math> | 54 | 3 | Пространство симметрических подпространств в <math>(\mathbb{H}\otimes\mathbb O)P^2</math> изоморфных <math>(\mathbb{C}\otimes\mathbb O)P^2</math> |
| EVIII | <math>E_8</math> | <math>\mathrm{Spin}(16)/\{\pm vol\}</math> | 128 | 8 | |
| EIX | <math>E_8</math> | <math>E_7\cdot\mathrm{SU}(2)</math> | 112 | 4 | Пространство симметрических подпространств в <math>(\mathbb{O}\otimes\mathbb O)P^2</math> изоморфных <math>(\mathbb{H}\otimes\mathbb O)P^2</math> |
| FI | <math>F_4</math> | <math>\mathrm{Sp}(3)\cdot \mathrm{SU}(2)</math> | 28 | 4 | Пространство симметрических подпространств в <math>\mathbb{O}P^2</math> изоморфных <math>\mathbb{H}P^2</math> |
| FII | <math>F_4</math> | <math>\mathrm{Spin}(9)</math> | 16 | 1 | плоскость Кэли <math>\mathbb{O}P^2</math> |
| G | <math>G_2</math> | <math>\mathrm{SO}(4)</math> | 8 | 2 | Пространство подалгебр алгебры Кэли <math>\mathbb{O}</math> изоморфные алгебре Кватернионов <math>\mathbb{H}</math> |
Вариации и обобщения
Определение через группы Ли
Более общее определение даётся на языке групп Ли. Обобщённое симметрическое пространство —это регулярное накрытие однородного пространства <math>G/K</math>, где <math>G</math> группа Ли и
- <math> K=\{ g\in G: \sigma(g) = g\}</math>
для некоторой инволюции <math>\sigma\colon G\to G</math>.
- Любое симметрическое пространство является обобщенным симметрическим пространством. При этом инволюция <math>\sigma\colon G\to G</math> группы изометрий <math>G</math> пространства определяется как
- <math>\sigma\colon h \mapsto s_p \circ h \circ s_p</math>
- Обратное верно, если <math>K</math> компактна.
Эти обобщенные симметрические пространства включают псевдо-Римановы симметрические пространств, в которых риманова метрика заменяется псевдо-Римановой метрики. В частности
Слабо симметрические пространства
В 1950-х годах Атле Сельберг дал определение слабо симметрического пространства. Они определяются как римановы многообразия с транзитивной группой изометрий такой, что для каждой точки <math>p</math> в <math>M</math> и касательного вектора <math>v</math> в <math>p</math>, есть изометрия <math>i</math>, зависящая от <math>v</math> в <math>p</math>, такая, что
- <math>i</math> фиксирует <math>p</math>;
- <math>di(v)=-v</math>.
Если <math>i</math> можно выбрать независимо от <math>v</math>, то пространство является симметрическим.
Классификация слабо симметрических пространств дана Ахиезером и Винбергом и основана на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли[1].
Сферические пространства
Компактное однородное пространство <math>G/K</math> называется сферическим, если любое неприводимое представление группы <math>G</math> имеет не более одного <math>K-</math>инвариантного вектора. Симметрические пространства являются сферическими.[2][3][4][5]
Эрмитовы симметрические пространствах
Симметрическое пространство, которое дополнительно снабжено параллельной комплексной структурой, согласованной с римановой метрикой, называется Эрмитовым симметрическим пространством.
Примечания
Литература
- ↑ Шаблон:Citation
- ↑ M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38(1979), no. 2, 129–153.
- ↑ И. В. Микитюк, Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. сб. 129(171) (1986), ном. 4, 514–534. Engl. transl.: I. V. Mikityuk, On the integrability of invariant Hamiltonian systems with homogeneous configuration spaces, Math. USSR Sbornik 57(1987), no. 2, 527–546.
- ↑ M. Brion, Classification des espaces homogénes sphériques, Compositio Math. 63(1987), no. 2, 189–208
- ↑ F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Classification of reductive real spherical pairs II. Шаблон:Wayback The semisimple case. Transformation Groups 24, 467–510 (2019)
