Русская Википедия:Симметричная моноидальная категория
В теории категорий симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой операция тензорного произведения «настолько коммутативна, насколько это возможно». В симметричной моноидальной категории для любых объектов выбран изоморфизм <math>\gamma_{A,B}:A\otimes B \rightarrow B\otimes A</math>, причём все эти изоморфизмы вместе образуют естественное семейство.
Формальное определение
Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой для любых двух объектов выбран изоморфизм <math>\gamma_{A,B}:A\otimes B \rightarrow B\otimes A</math>, причём <math> \gamma_{B,A} \circ \gamma_{A,B} = Id</math>, а также коммутирует следующая шестиугольная диаграмма:
Примеры
- Любая декартово замкнутая категория является симметричной замкнутой моноидальной. Это даёт такие примеры, как Set и Cat (категория множеств и категория малых категорий).
- Векторные пространства над фиксированным полем k с тензорным произведением образуют моноидальную категорию. Отображение <math> V\otimes W\to W\otimes V </math>, определенное на разложимых элементах вида <math>v\otimes w</math> и продолженное по линейности, очевидным образом задаёт на ней структуру симметричной моноидальной категории.
Моноидальные категории с заузливанием
Моноидальная категория с заузливанием — это обобщение симметричной моноидальной категории; для неё уже не требуется, что <math> \gamma_{B,A} \circ \gamma_{A,B} = \text{Id}</math>. Однако вместо коммутативности одной шестиугольной диаграммы приходится требовать коммутативность двух:
| Файл:CategoryBraiding-02.png | Файл:CategoryBraiding-03.png |
В симметричном случае обе эти диаграммы также коммутируют, но коммутативность одной из них следует из коммутативности другой и свойства <math> \gamma_{B,A} \circ \gamma_{A,B} = \text{Id}</math>.
Название «моноидальная категория с заузливанием» (англ. braided monoidal category) произошло от группы кос (англ. braid group). Действительно, эти понятия глубоко связаны между собой. Для моноидальной категории с заузливанием, так же как и для обычной моноидальной категории, верна теорема о когерентности, утверждающая, что любая диаграмма, на стрелках которой написаны композиции <math>\gamma, \alpha, \lambda, \rho, e, \otimes, \text{Id}</math> и обратных к ним, коммутативна. Более точно, она утверждает, что в моноидальной категории с заузливанием B любые два естественно изоморфных функтора из Bn в B, построенные из применений <math>\otimes</math> к аргументам и скобок, естественно изоморфны единственным, каноническим образом. Каждой стрелке, на которой написано преобразование, составленное из указанных выше символов, можно сопоставить элемент группы кос (например, преобразованию <math>\gamma</math> сопоставляется «перекрутка» двух нитей, легко видеть, что <math> \gamma_{B,A} \circ \gamma_{A,B} \neq \text{Id}</math>). Оказывается, что два таких функтора естественно изоморфны, если им соответствует один и тот же элемент группы кос.
Симметричные моноидальные функторы
Моноидальный функтор F между симметричными моноидальными категориями C и D называется симметричным, если соответствующее ему естественное преобразование <math>\phi</math> коммутирует с <math>\lambda</math>, то есть для любых A, B категории C коммутирует следующая диаграмма:
Симметричные моноидальные естественные преобразования
Моноидальное естественное преобразование между моноидальными функторами <math>(F,\Phi,\phi)</math> и <math>(G,\Gamma,\gamma)</math> между моноидальными категориями: <math>C\to D</math> — это естественное преобразование <math>\alpha:C\to D</math>, такое что коммутируют следующие две диаграммы:
- Файл:Symmetric monoidal natural transformation1.jpg
- Файл:Symmetric monoidal natural transformation2.jpg
Для симметричных моноидальных естественных преобразований не требуется дополнительных условий, кроме того, что они действуют между симметричными моноидальными функторами.
Моноидальная эквивалентность
C и D — симметрично моноидально эквивалентные категории, если существуют симметричные моноидальные функторы <math>F:C\to D</math>, <math>G:D\to C</math> и симметричные моноидальные естественные изоморфизмы <math>FG\Leftarrow 1_C</math> и <math>GF\Leftarrow 1_D</math>.
Маклейн доказал теорему о том, что любая симметричная моноидальная категория моноидально (симметрично) эквивалентна строгой моноидальной (и симметричной) категории.
Также как определяется Шаблон:Iw малых категорий, можно определить 2-категории малых моноидальных категорий и малых симметричных моноидальных категорий, с соответствующими функторами и естественными преобразованиями.
Примечания и ссылки
- Kelly,G.M. «Basic Concepts of Enriched Category Theory», London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (C.U.P., 1982)
- Joyal, André; Street, Ross (1993). «Braided Tensor Categories». Advances in Mathematics 102, 20-78.
- John C. Baez, [http://math.ucr.edu/home/baez/qg-fall2004/definitions.pdf Some De�nitions Everyone Should Know]
- Симметричные моноидальные категории на Шаблон:Iw
