Русская Википедия:Симметрия Фока в теории атома водорода

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Квантовая задача Кулона (аналог классической задачи Кеплера), позволяющая рассчитывать спектр системы из двух противоположных зарядов, является до сих пор фундаментальной в квантовой теории[1][2][3][4]. С ней связаны имена основателей физики 20-го века — Н. Бора, А. Зоммерфельда ,В. Паули, Э. Шредингера, В. Фока . С неё начинается введение в теорию атомных спектров и она прекрасно изучена методами теории специальных функций. Благодаря своей простоте и заложенной в ней симметрии — группе вращений 4-х мерного пространства SO(4), она является исключительно полезным и тонким инструментом теоретической физики для построения различных концепций[5][6][7][8]. Реализацию симметрии SO(4) нашел В. Фок в импульсном пространстве. Результат Фока удивляет физиков: почему симметрия SO(4) проявляется в импульсном пространстве, свернутом в 3-d сферу c выходом в 4-d пространство.

Сущность открытия

Напомним предысторию достижения Фока. Два классических векторных интеграла — угловой момент и вектор Рунге-Ленца в квантовой механике соответствуют векторным операторам, которые коммутируют с оператором энергии, то есть с гамильтонианом. Анализ их коммутаторов, проведенный в[9], показывает, что они порождают алгебру Ли (линейное пространство с операцией коммутирования) совпадающую с алгеброй Ли малых (инфинитезимальных) операторов поворотов 4-х мерного пространства[1][4].

Для физиков это соответствие означает, что существует преобразование переменных и операторов, которое переводит исходную квантовую задачу Кулона в некоторое движение частицы на трехмерной 3-d сфере, вложенной в четырёхмерное 4-d пространство. Оператор энергии при этом будет инвариантен при вращениях 3-d сферы. Это напоминает замечательный эффект Л. Кэрола "с парящей улыбкой Чеширского кота ".

Подход Фока поразил современников[4][10][11][12].Исходным пунктом в его теории является интегральное уравнение Шредингера (УШ) в импульсном пространстве. Это пространство можно рассматривать как 3-d плоскость в 4-d пространстве. Затем Фок сворачивает её в сферу с помощью стереографической проекции, известной с античных времен как удобное преобразование глобуса на плоскую карту . (У Фока глобус трехмерный — также как и карта). При этом, Фок угадывает необходимый множитель для пси-функций, чтобы исходное интегральное уравнение перешло в уравнение для сферических функций на 3-d сфере (не путать со сферическими функциями на двумерной сфере). Это уравнение, редко используемое в физике, но известное в теории специальных функций, инвариантно относительно вращений в 4-d пространстве[13].

Фок не объясняет физический смысл найденного им преобразования[12]. В результате остается принципиальный вопрос — почему симметрия SO(4) реализуется в свернутом импульсном, а не в координатном пространстве, и как электрон «узнал о стереографической проекции» . Позднее, Ефимов С. П. развил теорию В. Фока, с помощью переноса его результата в координатное пространство.[14]. При этом переход от четырёхмерных сферических функций к функциям в физическом пространстве алгебраический (без интегралов) и сопровождается заменой четвёртой «лишней» координаты на мнимый радиус вектор <math>\imath r</math>.


Теория Фока

При использовании атомных единиц, когда единица энергии есть <math> \frac{Z^2me^4 } {\hbar^2 } </math>, а единица длины равна радиусу Бора <math>a_B= \frac{\hbar^2 }{Zme^2 } </math>, УШ для собственных функций принимает вид:

<math> \left( -\frac{1 }{2 } \Delta-\frac{ 1 }{ r } \right)\Psi_{nlm }=-\frac{1 }{2n^2 }\Psi_{ nlm }</math>.

Дапее удобно привести каждую орбиту с радиусом <math>na_B </math> к единому радиусу[1], то есть заменить радиус вектор <math> \mathbf{ r }</math> на вектор <math> \frac{ \mathbf{r}}{n} </math>. В результате УШ принимает обманчиво простую форму

Шаблон:Equation box 1 где используется снова обозначения <math>\mathbf{r} </math> and <math>r </math> для вектора и его модуля. В этом случае в импульсном представлении аргумент пси-функций растягивается: <math>\mathbf{p'}=n\mathbf{p} </math>.

При переходе в импульсное пространство, к собственным функциям УШ необходимо применить преобразование Фурье <math>(\hbar=1)</math> :

<math> \Psi_{nlm}(\mathbf{r})=\frac{1}{ (2\pi)^3 }\int \ a_{nlm}(\mathbf {p} ) e^{(i\mathbf{pr})}

d^3\mathbf{ p} </math>. Применение его к УШ приводит к свертке по импульсам. Потенциал <math> \frac{1}{ r} </math> переходит в функцию <math> \frac{4\pi }{ \left|\mathbf{ p^2 } \right| } </math>, что дает интегральное (не локальное) уравнение: Шаблон:Equation box 1

Отметим, что нелокальность уравнения приводит к тому, что Вектор Лапласа-Рунге-Ленца не фигурирует в импульсном пространстве.

Первый шаг теории Фока следующий: без всякого объяснения функция <math>a_{nlm}( \mathbf{ p } ) </math> умножается на множитель <math> ( 1+\mathbf{p^2 } )^2 </math>.

Второй шаг : 3-d плоскость в импульсном пространстве сворачивается в 3-d сферу с координатами <math>( \boldsymbol{\xi},\mathit{\xi_0 } ) </math> (см. рис.1)

Файл:Представление автора о задаче.png
Рис.1 Стереографическая проекция <math> 3d </math> <math>\mathbf{p} </math>-плоскости на <math> 3d </math> -сферу в 4d-пространстве

Из рисунка видно, что тангенс угла наклона проектирующей (красной) прямой равен:

<math> \tan \varphi =\frac{1 } {\left| \mathbf{p} \right|} . </math>

Отсюда следуют формулы:

<math>\left|\boldsymbol \xi \right| =\sin 2\varphi=\frac{2\left|\mathbf {p} \right| } {(1+\mathbf{p^2})}, </math>
<math>\boldsymbol \xi =\frac{2\mathbf {p} } {(1+\mathbf{p^2})}, </math>
<math>\mathit{ \xi_0} =\cos 2\varphi =\frac{(\mathbf {p^2}-1) } {(\mathbf{p^2}+1)}, </math>
<math> \boldsymbol\xi^2+\xi_0^2=1. </math>

Стереографическая проекция удваивает угол наклона и в этом её эффект. Плоский рисунок при этом правильно отражает 4-х мерное преобразование.

В новых переменных, с учётом множителя Фока, собственная функция равна:

<math> b_{nlm }(\boldsymbol{ \xi}, \xi_0 ) =( \mathbf {p^2}+1)^2 a_{ nlm }(\mathbf { p } ). </math>

Существенно, что проекция является конформным преобразованием . Углы между пересекающимися кривыми сохраняются. Метрика на сфере в координатах пространства импульсов (плоскости p) равна:

<math>\frac{4 }{\mathbf{ (p^2+1)^2 }}(d\mathbf p )^2. </math>

Отсюда коэффициент сжатия элементов пространства p равен <math>\frac{ (\mathbf{ p^2}+1 ) }{ 2 } </math> . Элемент объёма в формуле (10) заменяем через элемент трехмерной поверхности :

<math> d^3\mathbf{p}=\frac{1 }{8} (\mathbf{p^2}+1)^3 dS_\xi </math>

Ядро интеграла удачно (и не очевидно) преобразуется следующим образом:

<math>\frac{ 1 }{ \mathbf{(p-p')^2 } }= \frac{ 2 }{ \mathbf{(p^2+1) } } \frac{1 }{[\boldsymbol{(\xi-\xi')^2}+(\xi_0-\xi'_0 )^2 ]} \frac{ 2 }{ \mathbf{(p'^2+1) } } , </math>

что не вытекает из конформности. Теперь подставляем последние три соотношения в интегральное уравнение . Получаем:

Шаблон:Equation box 1 где, как видно из Рис.1, элемент поверхности на единичной сфере с объёмом <math>2\pi^2 </math> равен:

<math> dS_\xi=\frac{d{\xi_1} d\xi_2 d{\xi_3} }{\xi_0 }=\frac{ dV_\xi }{ \xi_0 } </math>

(Интегрирование по плоскому 3-d пространству удобно при расчетах.)

В. Фок далее отсылает к теории сферических функций в четырёхмерном пространстве[13], где полиномы Гегенбауэра играют важную роль. Однако, в найденное уравнение можно подставить любую сферическую функцию и их сумму с фиксированным значением индекса (n-1), которое соответствует значению n в исходном УШ. В силу этого, уравнение не определяет квантовые числа <math>l</math> и <math> m </math>. Здесь важно свойство конформности. Повороту на сфере соответствует поворот на тот же угол в импульсном и координатном пространствах, так что функция с множителем <math> Y _{l,m}</math> переходит в собственную функцию с тем же угловым множителем (но с изменённым аргументом).

Таким образом, необходимое решение интегрального уравнения на 3-d сфере равно

<math>b_{nlm}(\boldsymbol{\xi},\xi_0)= Y _{l,m}(\theta,\varphi) G^{l+1}_{(n-1-l)}(\xi_0) </math>,

где второй множитель есть полином Гегенбауэра.

Неадекватная интерпретация

Математические симметрии играют важную роль в теоретической физике, помогая лучше понять физическую природу явления. Например, материальная точка в осцилляторе движется «туда-сюда» на отрезке. Физики изобрели фазовую плоскость для координат <math>x,p </math>, где точка движется равномерно по окружности, а её проекция на ось <math>x </math> есть движение в физическом пространстве. Подобная ситуация возникает в исследовании В. Фока. Математический аналог условно свободного движения возникает в импульсном 4-d пространстве.

В литературе встречается интерпретация результата Фока[12], в которой электрон в атоме водорода движется якобы свободно в 4-d пространстве на 3-d сфере. При этом наблюдатель из физического 3-d пространства видит проекцию этого движения. Этого утверждения в работе Фока нет, и такая интерпретация физически не адекватна.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ 1,0 1,1 1,2 Шаблон:Книга
  2. ↑ Шаблон:Книга
  3. ↑ Шаблон:Книга
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 Шаблон:Книга
  5. ↑ Шаблон:Статья
  6. ↑ Шаблон:Статья
  7. ↑ Шаблон:Статья
  8. ↑ Шаблон:Книга
  9. ↑ Шаблон:Статья
  10. ↑ Шаблон:Статья
  11. ↑ Шаблон:Статья
  12. ↑ 12,0 12,1 12,2 Шаблон:Книга
  13. ↑ 13,0 13,1 Шаблон:Книга
  14. ↑ Шаблон:Статья
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Симметрия_Фока_в_теории_атома_водорода&oldid=10796312