Русская Википедия:Симплекс
Шаблон:Другие значения Си́мплекс или n-ме́рный тетра́эдр (от Шаблон:Lang-la ‘простой’) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.
Определение
Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка n + 1 точки аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в подпространстве размерности n − 1). Эти точки называются вершинами симплексаШаблон:Sfn[1].
Симплекс может быть охарактеризован как множество всевозможных выпуклых комбинаций своих вершин <math>A_i</math>:
- <math>\Delta=\left\{ \sum_{i=0}^n t_i A_i : \left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right) \wedge (\forall i \; t_i \geqslant 0) \right\}.</math>
Связанные определения
- Открытым симплексом называется множество всевозможных барицентрических комбинаций своих вершин с положительными коэффициентами (при этом симплекс с теми же вершинами, удовлетворяющий определению из предыдущего раздела, именуют также замкнутым симплексом; в соответствии с терминологией общей топологии, замкнутый симплекс есть замыкание соответствующего открытого симплекса, а этот открытый симплекс есть открытое ядро замкнутого симплекса)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
- Остовом симплекса называется множество всех его вершинШаблон:Sfn.
- Рёбрами симплекса называются отрезки, соединяющие его вершиныШаблон:Sfn.
- Гранями размерности s симплекса называются s-мерные симплексы, остовами которых служат подмножества остова исходного симплекса[2].
- Симплекс называют ориентированным, если его остов представляет собой вполне упорядоченное множество; при этом считается, что порядки, отличающиеся друг от друга чётной перестановкой вершин, задают одну и ту же ориентацию (под ориентированным 0-симплексом понимается точка, которой приписан знак: «плюс» или «минус»)[2][3].
- Симплекс, лежащий в евклидовом пространстве, называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину[4].
Стандартный симплекс
Стандартный n-симплекс — это подмножество арифметического пространства <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>, определяемое какШаблон:Sfn
- <math>\Delta^n = \left\{ (t_0, \dots, t_n) : \left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right) \wedge (\forall i \; t_i \geqslant 0) \right\}.</math>
Его вершинами являются точкиШаблон:Sfn
- e0 = (1, 0, …, 0),
- e1 = (0, 1, …, 0),
- …
- en = (0, 0, …, 1).
Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс Δ с координатами вершин <math>(v_0, v_1, \dots, v_n)</math>:
- <math>(t_0, \dots, t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i.</math>
Значения <math>t_i</math> для данной точки симплекса Δ называются её барицентрическими координатамиШаблон:Sfn.
Свойства
- n-мерный симплекс имеет <math>n + 1</math> вершин, любые <math>k + 1</math> из которых образуют k-мерную грань.
- В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту <math>\tbinom{n + 1}{k + 1}.</math>
- В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно <math>n + 1</math>.
- Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле
- <math>V = \frac{1}{n!} \det(v_1 - v_0, v_2 - v_0, \dots, v_n - v_0).</math>
- Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:
- <math>V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ 1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix},</math>
- где <math>d_{ij} = |v_i - v_j|</math> — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.
- Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен <math>\frac{\sqrt{n + 1}}{n!\cdot 2^{n/2}}</math>.
- Радиус <math>R</math> описанной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению
- <math>(R \cdot V)^2 = T,</math>
- где <math>V</math> — объём симплекса, и
- <math>T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^2} \begin{vmatrix}
0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}.</math>
Построение
Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n + 1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n-мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n-мерного многогранникаШаблон:Sfn.
Простейший n-мерный многогранник с количеством вершин n + 1 как раз и называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигурыШаблон:Sfn:
- 0-симплекс (точка) — 1 вершина;
- 1-симплекс (отрезок) — 2 вершины;
- 2-симплекс (треугольник) — 3 вершины;
- 3-симплекс (тетраэдр) — 4 вершины.
Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.
- В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
- Существует общее правило преобразования симплексов низшей размерности в симплексы высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки симплекса проводят луч, не лежащий в аффинной оболочке данного симплекса, и на этом луче выбирают новую вершину, которую соединяют рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
- Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.
Описанная сфера
Вокруг любого n-симплекса в евклидовом пространстве можно описать n-сферу.
Число граней симплекса
Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.
Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L-мерную грань, и эта грань сама является L-симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.
Обозначим символом К(L, n) число L-мерных граней в n-многограннике; тогда для n-симплекса
- <math>K(L, n) = C^{L+1}_{n+1},</math>
где <math>C^k_n</math> — число сочетаний из n по k.
В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:
- <math>K(0, n) = K(n - 1, n) = n + 1.</math>
Соотношения в правильном симплексе
Для правильного n-мерного симплекса обозначим:
- <math>a</math> — длина стороны;
- <math>H_n</math> — высота;
- <math>V_n</math> — объём;
- <math>R_n</math> — радиус описанной сферы;
- <math>r_n</math> — радиус вписанной сферы;
- <math>\alpha_n</math> — двугранный угол.
Тогда
- <math>H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}= R_n \frac{n+1}{n}</math>
- <math>V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}= \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math>
- <math>R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math>
- <math>r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}= \frac{R_n}{n}</math>
- <math>\cos \alpha = \frac{1}{n}</math> [4]
- <math>R_n = H_n \frac{n}{n+1}</math>
- <math>a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2</math>
- <math>V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n </math>
- <math>r_n^2 = R_n^2 - R_{n-1}^2</math>
Формулы для правильного симплекса
Число L-мерных граней | <math>K(L,n) = \tbinom{n+1}{L+1}</math> | ||||
Высота | <math>H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}</math> | <math>H_n = R_n \frac{n+1}{n}</math> | <math>H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math> | <math>H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3}</math> | <math>H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4}</math> |
Объём | <math>V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}</math> | <math>V_n = \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math> | <math>V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}</math> | <math>V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12}</math> | <math>V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96}</math> |
Радиус описанной сферы | <math>R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math> | <math>a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}}</math> | <math>R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3}</math> | <math>R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4}</math> | <math>R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5}</math> |
Радиус вписанной сферы | <math>r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}</math> | <math>r_n = \frac{R_n}{n}</math> | <math>r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6}</math> | <math>r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12}</math> | <math>r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20}</math> |
Двугранный угол | <math>\cos \alpha = \frac{1}{n}</math> |
Симплексы в топологии
Топологическим симплексом называют подмножество топологического пространства, которое гомеоморфно симплексу некоторого аффинного пространства (или, что то же самое, стандартному симплексу соответствующей размерности). Понятие топологического симплекса лежит в основе теории симплициальных комплексов (симплициальный комплекс — это топологическое пространство, представленное как объединение топологических симплексов, образующих триангуляцию данного пространства)[5].
См. также
- Барицентрические координаты
- Барицентрическое подразделение
- Симплекс-метод
- Симплициальный комплекс
- Пятиячейник
- Теорема косинусов
- Теорема о сумме углов треугольника
- Триангуляция (геометрия)
Примечания
Литература
Ссылки
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback — 1216 стб. — Стб. 1151.
- ↑ 2,0 2,1 Шаблон:Книга Шаблон:Wayback — 1104 стб. — Стб. 995—1101.
- ↑ Шаблон:Книга — С. 257—258.
- ↑ 4,0 4,1 Шаблон:Книга — P. 756—758. — Шаблон:DOI.
- ↑ Шаблон:Книга Шаблон:Wayback — 1216 стб. — Стб. 1168.
Шаблон:Выбор языка Шаблон:Размерность
- Русская Википедия
- Страницы с неработающими файловыми ссылками
- Многомерная евклидова геометрия
- Геометрические фигуры
- Геометрические тела
- Многогранники
- Алгебраическая топология
- Страницы, где используется шаблон "Навигационная таблица/Телепорт"
- Страницы с телепортом
- Википедия
- Статья из Википедии
- Статья из Русской Википедии