Русская Википедия:Симплектическое многообразие
Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.
Важнейшим примером симплектического многообразия является кокасательное расслоение <math>T^*M</math>. Симплектическая структура позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам: если <math>M</math> — конфигурационное пространство механической системы, то <math>T^*M</math> — соответствующее ему фазовое пространство.
Определение
Дифференциальная 2-форма <math>\omega</math> называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю,
- <math>d \omega = 0,</math>
и для любого ненулевого касательного вектора <math>v \in T_x M</math> найдётся вектор <math>w \in T_x M</math> такой, что
- <math>\omega(v,w) \ne 0.</math>
Многообразие <math>M</math> с заданной на нём симплектической формой называется симплектическим многообразием.
Замечания
- Из определения следует, что симплектическое многообразие имеет чётную размерность.
- Если размерность <math>M</math> равна <math>2n</math>, то невырожденость формы <math>\omega</math> эквивалентна условию <math>\omega^{\wedge n}\ne 0</math>.
Связанные определения
- Диффеоморфизм симплектических многообразий <math>f\colon M \to N</math> называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.
- Пусть <math>H\colon M \to \mathbb R</math> — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии. Симплектическая форма ставит в соответствие функции <math>H</math> векторное поле <math>V_H</math>, определяемое следующим тождеством:
- <math>dH(X) = \omega(V_H,X).</math>
- Это определение аналогично определению градиента и иногда <math>V_H</math> называется симплектическим градиентом функции <math>H</math>.
- Поле <math>V_H</math>, которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
- В силу невырожденности формы <math>\omega</math> векторное поле <math>V_H</math> определено однозначно. В координатах Дарбу это отображение принимает вид
- <math>\dot {\mathbf q} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}, \quad \dot {\mathbf p} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf q},</math>
- соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом <math>H</math> называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).
- Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на <math>M</math> в алгебру Ли и определены по правилу
- <math>[F, G] = \omega(V_F, V_G).</math>
Свойства
- Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать координаты, называемые координатами Дарбу, в которых симплектическая форма имеет вид
- <math>\omega = d\mathbf p \wedge d\mathbf q</math>
- При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.
- Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру (следует из формулы Картана):
- <math>\mathcal{L}_{V_H}\, \omega = 0</math>
- Здесь <math>\mathcal{L}_{V_H}</math> — производная Ли по векторному полю <math>V_H</math>. Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.
- В частности, поскольку <math>\omega^{\wedge n}</math> — форма объёма на <math>M</math>, то получаем теорему Лиувилля о сохранении фазового объёма:
- <math>\mathcal{L}_{V_H}\omega^{\wedge n}=0.</math>
Контактная структура
С каждым симплектическим <math>2n</math>-мерным многообразием каноническим образом связано <math>(2n+1)</math>-мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого <math>(2n+1)</math>-мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся <math>(2n+2)</math>-мерным многообразием.
Вариации и обобщения
Многообразие называется мультисимплектическим степени <math>k</math>, если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.
См. также
Ссылки
- Д. В. Аносов. «О развитии теории динамических систем». Симплектическая геометрия.
- Лекция 5: Скобки Пуассона, дифференциальные формы и поливекторы 2013
Литература
- Шаблон:Книга
- Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
- Шаблон:Книга
- Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — Шаблон:М: Изд. МГУ, 1988. — 414с.
