Русская Википедия:Симплициальное множество
Симплициальное множество (в ранних источниках — полусимплициальный компле́кс) — теоретико-категорная конструкция, обобщающая понятие симплициального комплекса и в определённом смысле моделирующая понятие топологического пространства с «хорошими» свойствами: теория гомотопий для симплициальных множеств эквивалентна классической теории гомотопий для топологических пространств. Является чисто алгебраической конструкцией, обеспечивающей практически полный параллелизм с геометрическими объектами; в связи с этим считается одним из важнейших объектов в алгебраической топологии как с методологической точки зрения, так и с инструментальнойШаблон:Sfn.
С точки зрения теории категорий определяется как Шаблон:Iw из категории множеств, или, эквивалентно, как предпучок симплициальной категории в категорию множеств.
Определения и структура
Симплициальное множество <math>X</math> — контравариантный функтор из симплициальной категории в категорию множеств: <math>\Delta^\mathrm{op} \to \mathbf{Set}</math>.
Так как всякий морфизм симплициальной категории порождается морфизмами <math>\delta_i^n: [n-1] \to [n]</math> и <math>\sigma_i^n \colon [n+1] \to [n]</math> (<math>0 \leqslant i \leqslant n</math>), определёнными как[1]:
- <math>\delta_i^n(j) = \begin{cases}j, & j < i \\
j+1, & j \geqslant i
\end{cases}</math>,
- <math>\sigma_i^n(j) = \begin{cases}j, & j \leqslant i \\
j-1, & j > i
\end{cases}</math>,
то симплициальное множество может быть сконструировано как система <math>n</math>-х слоёв <math>X_n</math>, связанных соответствующими (двойственными к <math>\delta</math> и <math>\sigma</math>) отображениями <math>d_i^n \colon X_n \to X_{n-1}</math> и <math>s_i^n \colon X_n \to X_{n+1}</math>, удовлетворяющих соотношениям:
- <math>d_i^n d_j^{n+1} = d_{j-1}^n d_i^{n+1}</math>, если <math>i < j</math>,
- <math>s_i^{n} s_j^{n-1} = s_{j+1}^{n} s_i^{n-1}</math>, если <math>i \leqslant j</math>,
- <math>d_i^{n+1} s_j^{n} = \begin{cases}s_{j-1}^{n-1} d_i^{n}, & i < j \\
\mathsf{Id}_{X_{n}}, & (i = j) \, \vee \, (i = j+1) \\
s_j^{n-1} d_{i-1}^{n}, & i > j + 1
\end{cases}</math>.
Точки слоя <math>X_n</math> называются <math>n</math>-мерными симплексами, притом точки слоя <math>X_0</math> — вершинами, а слоя <math>X_1</math> — рёбрами. Морфизмы <math>d_i^n</math> называются операторами граней, а морфизмы <math>s_j^n</math> — операторами вырождения.
Симплициальное отображение — (функторный) морфизм между симплициальными множествами <math>f \colon X \to X'</math>, симплициальное отображение также может быть рассмотрено как совокупность слоёв <math>f_n \colon X_n \to X_n'</math>, притом выполнено:
- <math>d_i^{n} f_{n} = f_{n-1} d_i^{n}</math> (<math>0 \leqslant i \leqslant n</math>),
- <math>s_i^n f_n = f_{n+1} s_i^n</math> (<math>0 \leqslant i \leqslant n</math>).
Симплициальное множество <math>X</math> называется симплициальным подмножеством <math>X'</math>, если все слои <math>f_n \colon X_n \to X_n'</math> симплициального отображения <math>f \colon X \to X'</math> инъективны; в этом случае операторы граней и операторы вырождения в <math>X</math> являются сужениями соответствующих операторов для <math>X'</math>.
Симплициальное фактормножество — конструкция, получаемая послойной факторизацией симплициального множества, то есть <math>X/\sigma</math> — набор слоёв <math>X_n/\sigma</math>, притом операторы граней и вырождения слоёв-фактормножеств индуцируются соответствующими операторами множества <math>X</math>.
Симплициальные множества со всевозможными симплициальными отображениями между ними образуют категорию <math>\mathbf{Set}^{\Delta^\mathrm{op}}</math>[2].
Мотивация
Примеры
Свойства
Категория симплициальных множеств допускает прямые и обратные пределы, вычисляемые послойно. В частности, для любых симплициальных множеств <math>X</math> и <math>X'</math> определены прямое произведение <math>X \times X'</math> и прямая сумма (раздельное объединение) <math>X \oplus X'</math>, притом для всех слоёв:
- <math>(X \times X')_n = X_n \times X'_n</math>,
- <math>(X \oplus X')_n = X_n \oplus X'_n</math>.
Геометрическая реализация
Косимплициальное множество
Также используется двойственное понятие косимплициального множества — функтора из симплициальной категории в категорию множеств: <math>\Delta \to \mathbf{Set}</math>. Косимплициальные множества имеют аналогичную послойную структуру с операторами граней и вырождения (двойственных к соответствующим операторам симплициальных множеств) и образуют категорию <math>\mathbf{Set}^\Delta</math>.
Примечания
Литература
