Русская Википедия:Сингулярное распределение

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Сингулярное распределение (по отношению к мере <math>\mu</math>) — это распределение вероятностей, которое сосредоточено на множестве <math>M</math> таком, что <math>\mu(M)=0</math>. Однако часто используют более узкое определение, гласящее, что сингулярным называют распределение в пространстве <math>\mathbb{R}^n</math>, сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега и приписывающее каждому одноточечному множеству нулевую вероятность. Важно отметить, что согласно общему определению любое дискретное распределение является сингулярным по отношению к мере Лебега, но в частном определении дискретные распределения выведены из множества сингулярных.

Для одномерного пространства также можно утверждать, что распределение сингулярно, если множество точек роста у функции распределения имеет нулевую меру.

Свойства

Сингулярное распределение не может являться абсолютно непрерывным (по теореме Радона — Никодима).

Любое вероятностное распределение <math>F</math> может быть представлено в виде следующей суммы:

<math>F=pF_{s}+qF_{ac}</math>,

где <math>\quad p\geqslant 0</math>, <math>q\geqslant 0</math>, <math>p+q=1</math>, распределение <math>F_{s}</math> — сингулярно по отношению к мере <math>\mu</math>, а распределение <math>F_{ac}</math> — абсолютно непрерывно по отношению к этой же мере.

Примеры

Простейшим примером сингулярного распределения является распределение, сосредоточенное на канторовом множестве (его функцией распределения является лестница Кантора).

Более часто встречающимся в практических задачах сингулярным распределением является распределение случайных направлений в двухмерном евклидовом пространстве. Случайное направление соответствует единичному вектору, повёрнутому на случайный угол относительно вектора <math>(1,0)</math>. Выбор случайного направления равнозначен выбору случайной точки на единичной окружности, которая, в свою очередь, имеет нулевую площадь, следовательно, это распределение — сингулярно.