Русская Википедия:Система координат

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Систе́ма координа́т — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов. Совокупность чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки.

В математике координаты — совокупность чисел, сопоставленных точкам многообразия в некоторой карте определённого атласа.

В элементарной геометрии координаты — величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале координат) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трёх плоскостей координат, пересекающихся в одной точке под прямыми углами друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре сферы.

В географии координаты выбираются как (приближённо) сферическая система координат — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, океана). См. Географические координаты.

В астрономии небесные координаты — упорядоченная пара угловых величин (например, прямое восхождение и склонение), с помощью которых определяют положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат. Каждая из них по существу представляет собой сферическую систему координат (без радиальной координаты) с соответствующим образом выбранной фундаментальной плоскостью и началом отсчёта. В зависимости от выбора фундаментальной плоскости система небесных координат называется горизонтальной (плоскость горизонта), экваториальной (плоскость экватора), эклиптической (плоскость эклиптики) или галактической (галактическая плоскость).

Наиболее используемая система координат — прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).

Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом разных способов. Решая ту или иную математическую или физическую задачу методом координат, можно использовать различные координатные системы, выбирая ту из них, в которой задача решается проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчёта и системы референции.

Основные системы

Файл:Coord planes color.svg
Точка P и её координаты в трёхмерной системе координат (с осью Х, направленной к читателю)

В этом разделе даются разъяснения к наиболее употребляемым системам координат в элементарной математике.

Декартовы координаты

Шаблон:Основная статьяРасположение точки Шаблон:Math на плоскости определяется декартовыми координатами с помощью пары чисел <math>(x, y):</math>

В пространстве необходимы уже три координаты <math>(x, y, z):</math>

Полярные координаты

Файл:Polar coordinate components.svg
Полярные координаты.

Шаблон:Основная статья В полярной системе координат, применяемой на плоскости, положение точки Шаблон:Math определяется её расстоянием до начала координат Шаблон:Math и углом Шаблон:Math её радиус-вектора к оси Шаблон:Math.

В пространстве применяются обобщения полярных координат — цилиндрические и сферические системы координат.

Цилиндрические координаты

Файл:Cylindrical Coordinates.svg
Цилиндрические координаты.

Шаблон:Основная статья Цилиндрические координаты — трёхмерный аналог полярных, в котором точка Шаблон:Math представляется упорядоченной тройкой <math>(r, \varphi, z).</math> В терминах декартовой системы координат,

Примечание: в литературе для первой (радиальной) координаты иногда используется обозначение Шаблон:Math, для второй (угловой, или азимутальной) — обозначение Шаблон:Math, для третьей координаты — обозначение Шаблон:Math.

Полярные координаты имеют один недостаток: значение Шаблон:Math не определено при Шаблон:Math.

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных относительно некоторой оси. Например, длинный цилиндр с радиусом Шаблон:Math в декартовых координатах (с осью Шаблон:Math, совпадающей с осью цилиндра) имеет уравнение <math>x^2 + y^2 = R^2,</math> тогда как в цилиндрических координатах оно выглядит гораздо проще, как Шаблон:Math.

Сферические координаты

Файл:Spherical coordinates.svg
Сферические координаты.

Шаблон:Основная статья Сферические координаты — трёхмерный аналог полярных.

В сферической системе координат расположение точки Шаблон:Math определяется тремя компонентами: <math>(\rho, \varphi, \theta).</math> В терминах декартовой системы координат,

  • <math>0\leqslant\rho</math> (радиус) — расстояние от точки Шаблон:Math до полюса,
  • <math>0\leqslant\varphi\leqslant 360^\circ</math> (азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») полуосью Шаблон:Math и проекцией отрезка, проведённого из полюса до точки Шаблон:Math, на плоскость Шаблон:Math.
  • <math>0\leqslant\theta\leqslant 180^\circ</math> (широта или полярный угол) — угол между положительной («плюсовой») полуосью Шаблон:Math и отрезком, проведённым из полюса до точки Шаблон:Math.
Примечание: в литературе иногда азимут обозначается Шаблон:Math, а полярный угол - Шаблон:Math. Иногда для радиальной координаты используется Шаблон:Math вместо Шаблон:Math. Кроме того, диапазон углов для азимута может выбираться как (−180°, +180°] вместо диапазона [0°, +360°). Наконец, полярный угол может отсчитываться не от положительного направления оси Шаблон:Math, а от плоскости Шаблон:Math; в этом случае он лежит в диапазоне [−90°, +90°], а не в диапазоне [0°, 180°]. Иногда порядок координат в тройке выбирается отличным от описанного; например, полярный и азимутальный углы могут быть переставлены.

Сферическая система координат также имеет недостаток: Шаблон:Math и Шаблон:Math не определены, если Шаблон:Math = 0; угол Шаблон:Math не определён также и для граничных значений Шаблон:Math = 0 и Шаблон:Math = 180° (или для Шаблон:Math = ±90°, в случае принятия соответствующего диапазона для этого угла).

Для построения точки Шаблон:Math по её сферическим координатам нужно от полюса вдоль положительной полуоси Шаблон:Math отложить отрезок, равный Шаблон:Math, повернуть его на угол Шаблон:Math вокруг оси Шаблон:Math в направлении положительной полуоси Шаблон:Math, и затем повернуть на угол Шаблон:Math вокруг оси Шаблон:Math в направлении положительной полуоси Шаблон:Math.

Сферические координаты полезны при изучении систем, симметричных относительно точки. Так, уравнение сферы с радиусом Шаблон:Math в декартовых координатах с началом отсчёта в центре сферы выглядит как <math>x^2+y^2+z^2=R^2,</math> тогда как в сферических координатах оно становится намного проще: <math>\rho=R.</math>

Другие распространённые системы координат

  • Биполярные координаты [3] характеризуются тем, что в качестве координатных линий на плоскости в этом случае выступают два семейства окружностей с полюсами Шаблон:Math и Шаблон:Math, а также семейство окружностей, ортогональных к ним. Преобразование биполярных координат в декартовы прямоугольные осуществляется посредством специальных формул. Биполярные координаты в пространстве называются бисферическими; в этом случае координатными поверхностями являются сферы, поверхности, образуемые вращением дуг окружностей, а также полуплоскости, проходящие через ось Шаблон:Math[4].
  • Бицентрические координаты — всякая система координат, которая основана на двух фиксированных точках и в рамках которой положение некоторой другой точки определяется, как правило, степенью её удаления или вообще позицией относительно этих двух основных точек. Системы подобного рода могут быть довольно полезны в определённых сферах научных исследований[5][6].
  • Бицилиндрические координаты — система координат, которая образуется в том случае, если система биполярных координат на плоскости Шаблон:Math параллельно переносится вдоль оси Шаблон:Math. В качестве координатных поверхностей в этом случае выступают семейство пар круговых цилиндров, оси которых параллельны, семейство ортогональных к ним круговых цилиндров, а также плоскость. Для перевода бицилиндрических координат в декартовы прямоугольные для трехмерного пространства также применяются специальные формулы[7].
  • Диполярные координаты — трехмерная криволинейная ортогональная система координат, основанная на точечном (центральном) диполе, точнее, на его инвариантах преобразования координат. Одним из инвариантов является эквипотенциальная поверхность, которая служит координатной поверхностью; другой инвариант — силовые линии векторного поля, перпендикулярные эквипотенциальным поверхностям. Преобразование сферических или декартовых координат в диполярные осуществляется посредством специальных формул.
  • Параболические координаты — это двумерная ортогональная система координат, в которой координатными линиями является совокупность конфокальных парабол. Трехмерная модификация параболических координат строится путём вращения двумерной системы вокруг оси симметрии этих парабол. У параболических координат также имеется определенный спектр потенциальных практических приложений: в частности, они могут использоваться применительно к эффекту Штарка. Параболические координаты связаны определенным отношением с прямоугольными декартовыми[9].
  • Проективные координаты существуют, согласно наименованию, в проективном пространстве Шаблон:Math (Шаблон:Math) и представляют собой взаимно однозначное соответствие между его элементами и классами конечных подмножеств элементов тела Шаблон:Math, характеризующихся свойствами эквивалентности и упорядоченности. Для определения проективных координат проективных подпространств достаточно определить соответствующие координаты точек проективного пространства. В общем случае относительно некоторого базиса проективные координаты вводятся чисто проективными средствами[10].
  • Тороидальная система координат — трехмерная ортогональная система координат, получаемая в результате вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, разделяющей два её фокуса. Фокусы биполярной системы, соответственно, превращаются в кольцо с радиусом Шаблон:Math, лежащее на плоскости Шаблон:Math тороидальной системы координат, в то время как ось Шаблон:Math становится осью вращения системы. Фокальное кольцо также называют иногда базовой окружностью[11].
  • Трилинейные координаты являются одним из образцов однородных координат и имеют своей основой заданный треугольник, так что положение некоторой точки определяется относительно сторон этого треугольника — главным образом степенью удаленности от них, хотя возможны и другие вариации. Трилинейные координаты могут быть относительно просто преобразованы в барицентрические; кроме того, они также конвертируемы в двумерные прямоугольные координаты, для чего используются соответствующие формулы[12].
  • Цилиндрические параболические координаты — трехмерная ортогональная система координат, получаемая в результате пространственного преобразования двумерной параболической системы координат. Координатными поверхностями, соответственно, служат конфокальные параболические цилиндры. Цилиндрические параболические координаты связаны определенным отношением с прямоугольными, могут быть применены в ряде сфер научных исследований[13].
  • Эллипсоидальные координаты — эллиптические координаты в пространстве. Координатными поверхностями в данном случае являются эллипсоиды, однополостные гиперболоиды, а также двуполостные гиперболоиды, центры которых расположены в начале координат. Система ортогональна. Каждой тройке чисел, являющихся эллипсоидальными координатами, соответствуют восемь точек, которые относительно плоскостей системы Oxyz симметричны друг другу[14].

Переход из одной системы координат в другую

Шаблон:Also

Декартовы и полярные

<math>x=r\,\cos\varphi,</math>
<math>y=r\,\sin\varphi,</math>
<math>r=\sqrt{x^2 + y^2},</math>
<math>\varphi = \operatorname{arctg}\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y, </math>

где Шаблон:Math — функция Хевисайда с <math> u_0(0)=0 ,</math> а Шаблон:Math — функция signum. Здесь функции Шаблон:Math и Шаблон:Math используются как «логические» переключатели, аналогичные по значению операторам «если .. то» (if…else) в языках программирования. Некоторые языки программирования имеют специальную функцию atan2 (Шаблон:Math, Шаблон:Math), которая возвращает правильный Шаблон:Math в необходимом квадранте, определённом координатами Шаблон:Math и Шаблон:Math.

Декартовы и цилиндрические

<math>x=r\,\cos\varphi ,</math>
<math>y=r\,\sin\varphi ,</math>
<math>z=z. \quad</math>
<math>r=\sqrt{x^2 + y^2},</math>
<math>\varphi =\operatorname{arctg}\frac{y}{x} + \pi u_0(-x) \, \operatorname{sgn} y, </math>
<math>z=z. \quad</math>
<math>

\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r\cos\varphi&-r\sin\varphi &0\\ r\sin\varphi&r\cos\varphi &0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}, </math>

<math>

\begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ \frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}. </math>

Декартовы и сферические

<math>{x}=\rho \, \sin\theta \, \cos\varphi, \quad </math>
<math>{y}=\rho \, \sin\theta \, \sin\varphi, \quad </math>
<math>{z}=\rho \, \cos\theta; \quad </math>
<math>{\rho}=\sqrt{x^2+y^2+z^2},</math>
<math>{\theta}=\arccos\frac{z}{\rho}=\operatorname{arctg}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z},</math>
<math>{\varphi}=\operatorname{arctg}\frac{y}{x} + \pi\, u_0(-x)\, \operatorname{sgn} y. </math>
<math>

\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi&\rho\cos\theta\cos\varphi&-\rho\sin\theta\sin\varphi\\ \sin\theta\sin\varphi&\rho\cos\theta\sin\varphi&\rho\sin\theta\cos\varphi\\ \cos\theta&-\rho\sin\theta&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}d\rho\\d\theta\\d\varphi\end{pmatrix}, </math>

<math>

\begin{pmatrix}d\rho\\d\theta\\d\varphi\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} x/\rho&y/\rho&z/\rho\\ \frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}. </math>

Цилиндрические и сферические

<math>{r}=\rho \,\sin\theta,</math>
<math>{\varphi}=\varphi, \quad</math>
<math>{z}=\rho \,\cos\theta ;</math>
<math>{\rho}=\sqrt{r^2+z^2},</math>
<math>{\theta}=\operatorname{arctg}\frac{z}{r} + \pi \, u_0(-r) \, \operatorname{sgn} z, </math>
<math>{\varphi}=\varphi. \quad</math>
<math>

\begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dh\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sin\theta&\rho\cos\theta&0\\ 0&0&1\\ \cos\theta&-\rho\sin\theta&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}d\rho\\d\theta\\d\varphi\end{pmatrix}, </math>

<math>

\begin{pmatrix}d\rho\\d\theta\\d\varphi\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{r}{\sqrt{r^2+z^2}}&0&\frac{z}{\sqrt{r^2+z^2}}\\ \frac{-z}{r^2+z^2}&0&\frac{r}{r^2+z^2}\\ 0&1&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}dr\\d\varphi\\dz\end{pmatrix}. </math>

Географическая система координат

Шаблон:Main Географическая система координат обеспечивает возможность идентификации любой точки на поверхности земного шара совокупностью цифробуквенных обозначений. Как правило, координаты назначаются таким образом, что один из указателей обозначает позицию по Шаблон:D-l, а другой или совокупность других — по Шаблон:D-l. Традиционный набор географических координат — широта, долгота и высота[15]. Географическая система координат с использованием трёх перечисленных указателей является ортогональной.

Широта точки на поверхности Земли определяется как угол между плоскостью экватора и прямой, проходящей через эту точку в виде нормали к поверхности базового эллипсоида, примерно совпадающего по форме с Землёй. Эта прямая обычно проходит в нескольких километрах от центра Земли, за исключением двух случаев: полюсов и экватора (в этих случаях она проходит непосредственно через центр). Линии, соединяющие точки одной широты, именуются параллелями. 0° широты соответствуют плоскости экватора, Северный полюс Земли соответствует 90° северной широты, Южный — соответственно, 90° южной широты. В свою очередь, долгота точки на поверхности Земли определяется как угол в восточном или западном направлении от основного меридиана к другому меридиану, проходящему через эту точку. Меридианы, соединяющие точки одной долготы, представляют собой полуэллипсы, сходящиеся на полюсах. Нулевым считается меридиан, проходящий через королевскую обсерваторию в Гринвиче, близ Лондона. Что касается высоты, то она отсчитывается от условной поверхности геоида, являющегося абстрактным пространственным представлением земного шара.

См. также

Шаблон:Кол

Шаблон:Кол

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное

  1. ↑ Шаблон:Книга
  2. ↑ Шаблон:Книга
  3. ↑ Шаблон:Mathworld
  4. ↑ Шаблон:Книга
  5. ↑ Шаблон:Cite web
  6. ↑ Шаблон:Cite web
  7. ↑ Шаблон:Книга
  8. ↑ Шаблон:Cite web
  9. ↑ Шаблон:Cite web
  10. ↑ Шаблон:Книга
  11. ↑ Шаблон:Cite web
  12. ↑ Шаблон:MathWorld
  13. ↑ Шаблон:Cite web
  14. ↑ Шаблон:Книга
  15. ↑ A Guide to coordinate systems in Great Britain Шаблон:Webarchive v 1.7 October 2007
Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Система_координат&oldid=10802545