Русская Википедия:Система корней
Шаблон:О Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.
Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина, использующиеся при классификации систем корней, встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.
Определение
Пусть <math>V</math> — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением, обозначаемым <math>(\cdot,\;\cdot)</math>. Система корней в <math>V</math> — это конечное множество <math>\Phi</math> ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.
- <math>V</math> является линейной оболочкой системы корней.
- Если два корня <math>\alpha \in \Phi</math>, <math>\beta \in \Phi</math> являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо <math>\beta = -\alpha.</math>
- Для каждого корня <math>\alpha \in \Phi</math> множество <math>\Phi</math> замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной <math>\alpha.</math> То есть для любых двух корней <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> множество <math>\Phi</math> содержит отражение <math>\beta</math>
- <math>\sigma_\alpha(\beta) =\beta-2\frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)}\alpha \in \Phi.</math>
- (Целостное условие). Если <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — корни в <math>\Phi,</math> то проекция <math>\beta</math> на прямую, проходящую через <math>\alpha,</math> есть полуцелое, кратное <math>\alpha.</math> То есть
- <math> \langle \beta,\; \alpha \rangle = 2 \frac{(\alpha,\;\beta)}{(\alpha,\;\alpha)} \in \mathbb{Z}.</math>
Замечания
- С учётом свойства 3 целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между <math>\beta</math> и его отражением <math>\sigma_\alpha(\beta)</math> равна корню <math>\alpha</math>, умноженному на некоторое целое число.
- Оператор
- <math> \langle \cdot,\; \cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb{Z}</math>,
- определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.
Размерность <math>V</math> называют рангом системы корней.
Классификация систем корней по схемам Дынкина
Все соединённые диаграммы Дынкина.
Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2
Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов <math>\{\alpha,\;-\alpha\}.</math> Эта система называется <math>A_1.</math>
В ранге 2 существуют четыре возможных варианта <math>\sigma_\alpha(\beta)=\beta+n\alpha,</math> где <math>n=0,\;1,\;2,\;3.</math>
| Система корней <math>\scriptstyle{A_1\times A_1}.</math> | Система корней <math>\scriptstyle{A_2}.</math> |
| Система корней <math>A_1\times A_1</math> | Система корней <math>A_2</math> |
| Система корней <math>\scriptstyle{B_2}.</math> | Система корней <math>\scriptstyle{G_2}.</math> |
| Система корней <math>B_2</math> | Система корней <math>G_2</math> |
См. также
Ссылки
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
- Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
- Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
- Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.
