Русская Википедия:Система линейных алгебраических уравнений
Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.
В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.
Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.
Могут обобщаться на случай бесконечного множества неизвестных.
Соглашения и определения
Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:
- <math>
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\
\dots\\
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\
\end{cases} </math> Здесь <math>m</math> — количество уравнений, а <math>n</math> — количество переменных, <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> — неизвестные, которые надо определить, коэффициенты <math>a_{11}, a_{12}, \dots, a_{mn}</math> и свободные члены <math>b_1, b_2, \dots, b_m</math> предполагаются известными. Индексы коэффициентов в системах линейных уравнений (<math>a_{ij}</math>) формируются по следующему соглашению: первый индекс (<math>i</math>) обозначает номер уравнения, второй (<math>j</math>) — номер переменной, при которой стоит этот коэффициент[1].
Система называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (<math>b_1 = b_2 = \dots = b_m = 0</math>), иначе — неоднородной.
Квадратная система линейных уравнений — система, у которой количество уравнений совпадает с числом неизвестных (<math>m=n</math>). Система, у которой число неизвестных больше числа уравнений, является недоопределённой, такие системы линейных алгебраических уравнений также называются прямоугольными. Если уравнений больше, чем неизвестных, то система является переопределённой.
Решение системы линейных алгебраических уравнений — совокупность <math>n</math> чисел <math>c_1, c_2, \dots, c_n</math>, таких что их соответствующая подстановка вместо <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> в систему обращает все её уравнения в тождества.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения. Решения считаются различными, если хотя бы одно из значений переменных не совпадает. Совместная система с единственным решением называется определённой, при наличии более одного решения — недоопределённой.
Матричная форма
Система линейных алгебраических уравнений может быть представлена в матричной форме как:
- <math>
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} </math> или:
- <math>Ax = b</math>.
Здесь <math>A</math> — это матрица системы, <math>x</math> — столбец неизвестных, а <math>b</math> — столбец свободных членов. Если к матрице <math>A</math> приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.
Теорема Кронекера — Капелли устанавливает необходимое и достаточное условие совместности системы линейных алгебраических уравнений посредством свойств матричных представлений: система совместна тогда и только тогда, когда ранг её матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.
Эквивалентные системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множество их решений совпадает, то есть любое решение одной системы одновременно является решением другой, и наоборот. Также считается, что системы, не имеющие решений, эквивалентны.
Систему, эквивалентную данной, можно получить, в частности, заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число. Эквивалентную систему можно получить также, заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы. В общем, замена уравнения системы на линейную комбинацию уравнений даёт систему, эквивалентную исходной.
Система линейных алгебраических уравнений <math> A \mathbf{x} \ = \mathbf{b} </math> эквивалентна системе <math> C A \mathbf{x} \ = C \mathbf{b} </math>, где <math>C</math> — невырожденная матрица. В частности, если сама матрица <math>A</math> — невырожденная, и для неё существует обратная матрица <math> A^{-1} </math>, то решение системы уравнений можно формально записать в виде <math> \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} </math>.
Методы решения
Прямые методы дают алгоритм, по которому можно найти точное решение систем линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.
Некоторые прямые методы:
- Метод Гаусса
- Метод Гаусса — Жордана
- Метод Крамера
- Матричный метод
- Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)
- Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)
Итерационные методы устанавливают процедуру уточнения определённого начального приближения к решению. При выполнении условий сходимости они позволяют достичь любой точности просто повторением итераций. Преимущество этих методов в том, что часто они позволяют достичь решения с заранее заданной точностью быстрее, а также позволяют решать большие системы уравнений. Суть этих методов состоит в том, чтобы найти неподвижную точку матричного уравнения
- <math> \mathbf{x} = A^\prime \mathbf{x} + \mathbf{b}^\prime </math>,
эквивалентного начальной системе линейных алгебраических уравнений. При итерации <math> \mathbf{x} </math> в правой части уравнения заменяется, например, в методе Якоби (метод простой итерации) приближение, найденное на предыдущем шаге:
- <math> \mathbf{x}_{n+1} = A^\prime \mathbf{x}_n + \mathbf{b}^\prime </math>.
Итерационные методы делятся на несколько типов, в зависимости от применяемого подхода:
- Основанные на расщеплении: <math>(M-N)\mathbf{x}=\mathbf{b}\Leftrightarrow M\mathbf{x}=N\mathbf{x}+\mathbf{b} \Rightarrow M\mathbf{x}^{n+1}=N\mathbf{x}^n+\mathbf{b}</math>
- Вариационного типа: <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow \|A\mathbf{x}-\mathbf{b}\|\rightarrow \min</math>
- Проекционного типа: <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}\Rightarrow (A\mathbf{x},\mathbf{m})=(\mathbf{b},\mathbf{m}) \forall\mathbf{m}</math>
Среди итерационных методов:
- Метод Якоби (метод простой итерации)
- Метод Гаусса — Зейделя
- Метод релаксации
- Многосеточный метод
- Метод Монтанте
- Метод Абрамова (пригоден для решения небольших СЛАУ)
- [[|en]] (Generalized minimal residual method)
- Метод бисопряжённых градиентов
- Стабилизированный метод бисопряжённых градиентов
- [[|en]] (Biconjugate gradient method)
- Метод квази-минимальных невязок (QMR)
- Метод вращений[2]
Примечания
Ссылки
Шаблон:Методы решения СЛАУ Шаблон:Вектора и матрицы
- ↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
- ↑ Шаблон:Книга
