Русская Википедия:Система уравнений

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения Систе́ма уравне́ний — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Обозначения

Формальная запись общего вида может выглядеть так:

<math>

\begin{cases}

   F_1(x_1, x_2, \ldots, x_M) = 0 \\
   F_2(x_1, x_2, \ldots, x_M) = 0 \\
  \ldots \\
  F_N(x_1, x_2, \ldots, x_M) = 0 \\

\end{cases} </math>

Фигурная скобка означает, что решение <math>(x_1, x_2, \ldots, x_M)</math> должно удовлетворять каждому уравнению.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений обращается в верное равенство.

Типы систем уравнений

• Алгебраические уравнения:
  • Система линейных алгебраических уравнений
  • Система нелинейных уравнений
• Дифференциальные уравнения:
  • Система дифференциальных уравнений (линейные/нелинейные, обыкновенные/в частных производных)

Методы решения

Существует множество методов решения системы уравнений. Подход зависит от типа системы. Так, решение систем линейных уравнений полностью исследовано: у них найдены аналитические методы (метод Крамера) и предложено несколько численных — как точных (простейший — метод Гаусса), так и приближённых (метод итераций).

Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Для решения систем дифференциальных уравнений разработана целая отрасль численных методов.

Разные факты

• Любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме <math>f_i(x)=0</math>, возвести их в квадрат и сложить.
• Обыкновенное дифференциальное уравнение любого порядка можно записать как систему диф. уравнений первого порядка.