Русская Википедия:Систола поверхности
Систолические неравенства для кривых на поверхностях первым изучал Шаблон:Не переведено 5 в 1949 году (не опубликовано; см. примечание в конце статьи Пу 1952 года). Если дана замкнутая поверхность, её систола, обозначаемая как sys, определяется как петля наименьшей длины, которая не может быть стянута в точку на поверхности. Систолическая площадь метрики определяется как отношение площади и sys2. Систолическое отношение SR (от английского Systolic Ratio) равно обратной величине, то есть sys2/площадь. См. также статью Шаблон:Не переведено 5.
Тор
В 1949 году Шаблон:Не переведено 5 доказал Шаблон:Не переведено 5 для метрик на торе T2, а именно, что систолическое отношение SR(T2) ограничено сверху величиной <math>2/\sqrt{3}</math>, с равенством на плоском (постоянной кривизны) случае равностороннего тора (см. Шестиугольная решётка).
Вещественная проективная плоскость
Похожий результат даёт неравенство Пу для вещественной проективной плоскости, полученный в 1952 году Пу Баомином с верхней границей <math>\pi/2</math> для систолического отношения SR(RP2), которое также превращается в равенство в случае постоянной кривизны.
Бутылка Кляйна
Для бутылки Кляйна K Бавард (1986) получил оптимальную верхнюю границу <math> \pi/\sqrt{8}</math> для систолического отношения:
- <math>\mathrm{SR}(K) \leqslant \frac{\pi}{\sqrt{8}},</math>
на основе работы Блаттера 1960-х годов.
Род 2
Ориентируемая поверхность рода 2 удовлетворяет границе Лёвнера <math>\mathrm{SR}(2)\leqslant \tfrac{2}{\sqrt{3}}</math> (см. статью Катца и СабуруШаблон:Sfn). Неизвестно, удовлетворяет ли любая поверхность с положительным родом границе Лёвнера. Есть гипотеза, что все они удовлетворяют. Ответ положителен для рода 20 и вышеШаблон:Sfn.
Произвольный род
Для замкнутой поверхности рода g Хебда и Бураго (1980) показали, что систолическое отношение SR(g) ограничено сверху константой 2. Тремя годами позже Михаил Громов нашёл верхнюю границу SR(g) с точностью до постоянного множителя
- <math>\frac{(\log g)^2}{g}.</math>
Похожая нижняя граница (с аналогичной константой) получена Бузером и Сарнаком, а именно: они привели арифметические гиперболические римановы поверхности с систолами, дающими <math>\log (g)</math> с точностью до постоянного множителя. Заметим, что площадь равна <math>4\pi(g-1)</math> по теореме Гаусса — Бонне, так что SR(g) ведёт себя с точностью до постоянного множителя как <math>\tfrac{(\log g)^2}{g}</math>.
Изучение для большого рода <math>g</math> асимптотического поведения систолы гиперболических поверхностей раскрывает несколько интересных констант. Так, поверхности Гурвица <math>\Sigma_g</math>, определённые башней главных конгруэнцподгрупп группы гиперболических треугольников (2,3,7), удовлетворяют границе
- <math> \mathrm{sys}(\Sigma_g) \geqslant \frac{4}{3} \log g,</math>
которая получается из анализа Шаблон:Не переведено 5. Похожая граница выполняется для более общих арифметических фуксовых групп. Этот результат 2007 года Михаила Гершевича Каца, Мэри Шапс и Узи Вишне улучшает неравенство Питера Сарнака и Питера Бузера 1994 года для случая арифметических групп, определённых над <math>\mathbb{Q}</math>, которое содержало ненулевую аддитивную постоянную. Для поверхностей Гурвица главного типа конгруэнтности систолическое отношение SR(g) асимптотически стремится к
- <math>\frac{4}{9\pi} \frac{(\log g)^2}{g}.</math>
При использовании неравенства энтропии Катока была найдена следующая асимптотическая верхняя граница для SR(g)Шаблон:Sfn:
- <math>\frac{(\log g)^2}{\pi g},</math>
см. также статью КатцаШаблон:Sfn. Комбинируя две оценки, получаем жёсткие границы систолического отношения поверхностей.
Сфера
Имеется также версия неравенства для метрик на сфере для инварианта L, определённого как наименьшая длина замкнутой геодезической метрики. В 1980 году Громов высказал гипотезу, что для отношения площадь/L2 нижней границей является <math>\tfrac{1}{2}\sqrt{3}</math>. Нижняя граница в 1/961, полученная Кроке в 1988 году была недавно улучшена Набутовским, Ротман и Сабуру.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
- Шаблон:Статья
