Систолическое неравенство — неравенство следующего вида
<math> \operatorname{sys} M \leqslant c_n\cdot \sqrt[n]{\operatorname{vol} M},</math>
где <math>M</math> есть замкнутое <math>n</math>-мерное риманово многообразие в определённом классе, <math> \operatorname{sys} M</math> — длина кратчайшей нестягиваемой замкнутой кривой на <math>M</math> (так называемая систола <math>M</math>) и <math> \operatorname{vol} M</math> — его объём.
Как определённый класс обычно берётся топологический тип многообразия, но иногда рассматриваются, например, класс римановых многообразий конформно эквивалентных данному.
Для многих топологических типов многообразий, например для произведения сферы и окружности <math> \mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^1</math> систолическое неравенство не выполняется — существуют римановы метрики на <math> \mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^1</math> с произвольно малым объёмом и произвольно длинной систолой.
Примеры
Шаблон:Iw — оптимальное систолическое неравенство для двумерного тора <math>\mathbb{T}^2</math> с константой <math> \tfrac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}</math>.
Оптимальная константа известна также для бутылки Кляйна; она равна <math>\tfrac{\sqrt\pi}{2^{3/4}}</math>.[1]
Систолическое неравенство выполняется для метрик конформно эквивалентных канонической метрике на торе и проективного пространства всех размерностей. Более того равенство достигается для канонической метрики.
<math> \operatorname{sys} M \leqslant c_n\cdot \sqrt[n]{\operatorname{vol} M},</math>
В частности систолическое неравенство выполняется для всех замкнутых поверхностей кроме сферы, а также торов и проективных пространстве всех размерностей.
Известно, что оптимальная константа <math>c_n</math> не превосходит <math>\sqrt[n]{n!}=\tfrac ne+o(n)</math>.[3]
Пример проективного пространства с канонической метрикой даёт нижнюю оценку на <math>c_n</math>, которая растёт как <math>\sqrt{n}</math>; возможно это и есть оптимальная константа.
