Русская Википедия:Скалярная матрица

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.

<math>A_n = \begin{pmatrix} a & 0 & \cdots & 0 & 0

\\ 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a \end{pmatrix}</math>

Свойства

• Скалярная матрица — это произведение скаляра и единичной матрицы.

<math>a \cdot E_n = A_n</math>

• Множество скалярных матриц <math>n\times n</math> — это в точности те матрицы, которые коммутируют со всеми матрицами <math>n\times n</math>, то есть для любой скалярной матрицы <math>S</math> и матрицы <math>A</math> того же размера <math>AS = SA.</math>
• <math>\operatorname{det} A_n = a ^ n</math>
• <math>\operatorname{rang} A_n = \begin{cases} n, & a \not = 0 \\ 0, & a = 0. \end{cases}</math>
• <math>A_n^{-1} = \frac{1}{a} E_n</math>, где <math>E_n</math> - единичная матрица
• Скалярные матрицы образуют поле, изоморфное полю, которому принадлежат элементы матрицы (например, действительных или комплексных чисел).