Русская Википедия:Скалярное ранжирование

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Скалярное ранжирование — подход к решению многокритериальных задач принятия решений, когда множество показателей качества (критериев оптимальности) сводятся в один с помощью функции скаляризации — целевой функции задачи принятия решения.

Виды функций скаляризации

Аддитивная (взвешенная сумма)

Файл:01 Additive Rank.PNG

Аддитивная

<math>F_1(\vec f(\vec x)) = \sum\limits _{i = 1}^r {w_i f_i (\vec x)},</math>

где <math>r</math> — количество частных критериев; <math>w_i </math> — коэффициент важности (вес) частного критерия; <math> f_i (x) </math> — функция полезности частного критерия.

Обычно веса нормируют: <math>w_i \isin [0, 1].</math>

Мультипликативная (взвешенное произведение)

Файл:02 Multiplicative Rank.PNG

Мультипликативная

<math>F_2(\vec f(\vec x)) = \prod\limits_{i = 1}^r {\left[{f_i (\vec x)} \right]} ^{w_i }.</math>

Каноническая аддитивно-мультипликативная

<math>F_3(\vec f(\vec x)) = \beta \cdot\sum\limits_{i = 1}^r {w_i f_i (\vec x)} + (1 - \beta ) \cdot

\prod\limits_{i = 1}^r {[f_i (\vec x)]} ^{w_i }.</math>

Файл:03 Additive-multiplicative Rank.png Каноническая аддитивно-мультипликативная

Файл:04 Modify Additive-multiplicative Rank.PNG Модификация канонической аддитивно-мультипликативной

где <math>\beta </math> — адаптационный параметр <math>0 \le \beta \le 1.</math>

• Модификация канонической аддитивно-мультипликативной

<math> F_4(\vec f(\vec x)) = a \cdot \sum\limits_{i = 1}^r {w_i f_i (\vec x)} + b\cdot \prod\limits_{i = 1}^r {[f_i^{} (\vec x)]\,^{w_i } + \;} c \cdot \prod\limits_{i = 1}^r {[f_i^{} (\vec x)]\,^{1/w_i } }, </math>

где <math> a,\;b,\;c</math> — дополнительные параметры, <math>a + b + c = 1; w_i \ne 0, i = \overline {1,r}.</math>

Аддитивно-мультипликативная, построенная на основе ряда Винера

Файл:05 Polinomial Rank.PNG На основе ряда Винера

Файл:06 Modify Polinomial Rank.PNG Модификация функции на основе ряда Винера

(сложность определяется степенью полинома)

<math> F_5(\vec f(\vec x)) =\sum\limits_{i = 1}^r {w_i \cdot f_i (\vec x)} + \sum\limits_{i = 1}^r {\sum\limits_{j = i}^r {} w_{ij} \cdot f_i (\vec x) \cdot f_j (\vec x)} + ... ,</math>

где <math>w_{ij}</math> — весовые коэффициенты произведения частных критериев <math>f_i (\vec x) \cdot f_j (\vec x), i,j = \overline {1,\;{\rm{r}}}.</math>

• Модификация аддитивно-мультипликативной, построенной на основе ряда Винера

(добавлены члены с дробными степенями и отсутствуют произведения несовпадающих частных критериев)

<math> F_6(\vec f(\vec x)) = \sum\limits_{i = 1}^r {w_i f_i (\vec x)} +

\sum\limits_{j = 2}^u {\sum\limits_{i = 1}^r {\{ w_{i + r(2j - 3)} [f_i^{} (\vec x)]^g } } + w_{i + r(2j - 2)} [f_i^{} (\vec x)]^{1/g} \}, </math>

где <math> u </math> — степень базового полинома; <math>g > 1</math> — дополнительный параметр, определяющий характер зависимости.

Показательная

Файл:07 Power Rank.PNG

Показательная

<math> F_7(\vec f(\vec x)) = \sum\limits_{i = 1}^r {(1 - e^{ - w '_i f _i(\vec x) } )}, </math>

где <math> w '_i = 1 - w_i , i = \overline {1,r}</math> — весовые коэффициенты частных критериев, <math>\sum\limits_{i = 1}^r {w '_i } = 1. </math>

Энтропийная

Файл:08 Entrophy Rank.PNG

Энтропийная

<math> F_8(\vec f(\vec x)) = \sum\limits_{i = 1}^r {w_i } \cdot f_i(\vec x)^{w_i }. </math>

См. также

• Многокритериальная оптимизация
• Оптимизация (математика)
• Критерий оптимальности