Русская Википедия:Скобка Пуассона

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Ско́бки Пуассо́на (также возможно ско́бка Пуассо́на и скобки Ли) — оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона. Рассматривался С. Пуассоном в 1809 году, затем забыт и переоткрыт Карлом Якоби.

Скобки Пуассона векторных полей

Пусть <math>v</math> и <math>u</math> — векторные поля на гладком многообразии <math>M</math>, <math>L_v</math> — оператор производной Ли по направлению векторного поля <math>v</math>. Коммутатор операторов <math>L_v</math> и <math>L_u</math> есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле <math>[v,u]</math>, для которого

<math>L_v L_u - L_u L_v \equiv [L_v, L_u] = L_{[v,u]}</math>

Компоненты векторного поля <math>[v,u]</math> в произвольной системе координат выражаются через компоненты <math>v</math> и <math>u</math> по формуле

<math>[v,u]_{i}=\sum_{j}v_{j}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-u_{j}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}.</math>

Таким образом, поле <math>[v,u]</math> не зависит от системы координат <math>(x_{1},...,x_{n}),</math> которая используется в формуле.

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

<math id="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%9B%D0%B8">[v,u] = L_v u</math>

В голономном базисе оно принимает вид

<math>[v, u]^\mu = v^\alpha \partial_\alpha u^\mu - u^\alpha \partial_\alpha v^\mu</math>

Пример

Пусть <math>G=\mathrm{Diff}(M)</math> есть группа диффеоморфизмов многообразия <math>M</math>. Тогда <math>\mathrm{ad}_{v}w=-\{v,w\},</math> где <math>\{v,w\}</math> — скобка Пуассона, <math>\mathrm{ad}</math> — дифференциал <math>\mathrm{Ad}</math> в единице группы. Символ <math>\mathrm{ad}_{v}</math> обозначает образ элемента <math>v</math>.

Пусть <math>t\mapsto g(t)</math> является кривой, которая выходит из <math>k</math> с начальной скоростью <math>\dot{g}=m,</math> и пусть <math>s\mapsto h(s)</math> является такой же кривой с начальной скоростью <math>h'=\omega.</math> Тогда

<math>g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega+o(s))(k+tm+o(t))^{-1}=k+s[\omega+t(m\omega-\omega m)+o(t)]+o(s)</math>

при <math>t,s\rightarrow 0.</math>

Файл:G123ffew.tif

Вектор <math>m</math> в алгебре Ли <math>\mathfrak{g}</math> является скоростью в единице <math>k</math> пути <math>g(t)</math> на группе Ли <math>G</math>

Свойства

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

• Линейность: <math>\Big[ u, cv \Big] = c \Big[ u, v \Big] , \;\;\;\; c </math> — функция, не зависящая от <math>u</math> и <math>v</math>.
• Антикоммутативность: <math>\Big[ u, v \Big] = - \Big[ v, u \Big]</math>
• <math>\Big[ w , u + v \Big] = \Big[ w, u \Big] + \Big[ w, v \Big]</math>
• <math>\Big[ u, u \Big] = 0</math>
• <math>\cfrac {\partial \Big[ u, v \Big]} {\partial t} = \Big[ \cfrac {\partial u} {\partial t}, v \Big] + \Big[ u, \cfrac {\partial v} {\partial t} \Big]</math>
• <math>\Big[ w , c \Big] = 0</math>
• <math>\Big[ w, u \cdot v \Big] = \Big[ w, u \Big]v + u \Big[ w, v \Big]</math>
• <math>\Big[ w, u(v_1, \ldots , v_k) \Big] = \sum_{l = 1}^k \cfrac {\partial u} {\partial v_l}\Big[ w, v_l \Big]</math>
• Тождество Якоби: <math>\Big[ \Big[ u, v \Big] , w \Big] + \Big[ \Big[ v, w \Big] , u \Big] + \Big[ \Big[ w , u \Big] , v \Big] = 0 .</math>
• Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Скобки Пуассона функций

Пусть <math>M</math> — симплектическое многообразие. Симплектическая структура <math>\omega</math> на <math>M</math> позволяет ввести на множестве функций на <math>M</math> операцию скобок Пуассона, обозначаемую <math>\{ \cdot,\cdot \}</math> или <math>[\cdot,\cdot]</math> и задаваемую по правилу

<math>[F,G] \ \stackrel{\text{def}}{=} \ L_{\mathbf F}G \equiv dG(\mathbf F) \equiv \omega(\mathbf F, \mathbf G)</math>

где <math>\mathbf F</math> (также <math>I dF</math>) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона <math>F</math>. Оно определяется через дифференциал функции <math>F</math> и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой <math>\omega</math>. Именно, для любого векторного поля <math>\mathbf v</math>

<math>dF(\mathbf v) \ \stackrel{\text{def}}{=} \ \omega (\mathbf v, \mathbf F)</math>

Алгебра Ли функций Гамильтона

В силу кососимметричности и билинейности <math>\omega</math> скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

<math>[F, G] = - [G, F]</math>

<math>[F, \lambda G + \mu H] = \lambda [F,G] + \mu [F,H]</math>

Выражение

<math>[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]]</math>

является линейной функцией вторых производных каждой из функций <math>F,G,H</math>. Однако

<math>\begin{array}{r}

[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] = \\ -L_{I d[G,H]} F + L_{\mathbf G} L_{\mathbf H} F - L_{\mathbf H} L_{\mathbf G} F = \\ \left( -L_{I d[G,H]} + L_{[\mathbf G, \mathbf H]} \right) F \end{array}</math>

Это выражение не содержит вторых производных <math>F</math>. Аналогично, оно не содержит вторых производных <math>G</math> и <math>H</math>, а потому

<math>[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] =0</math>

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на <math>M</math> структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции <math>H</math>

<math>L_{I d[F,G]}H = L_{[\mathbf F, \mathbf G]}H</math>,

то есть

<math>I d[F,G] = [\mathbf F, \mathbf G]</math>

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

• Скобки Пуассона невырождены:

<math>\forall F \not\equiv 0 \ \exists H: [F,H] \ne 0</math>

• Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:

<math>[F, GH] = [F,G] H + G [F,H]</math>

• Функция <math>F</math> является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом <math>H</math> тогда и только тогда, когда <math>[F,H] = 0</math>
• Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
• Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона <math>H</math>, заданной на многообразии <math>M</math>. Полная производная по времени от произвольной функции <math>f\colon M\times \R \to \R</math> запишется в виде

<math>\begin{array}{cl}

\frac{d}{dt} f = & \frac{\partial f}{\partial t} + \dot q \frac{\partial f}{\partial q} + \dot p \frac{\partial f}{\partial p} = \\ & \frac{\partial f}{\partial t} + L_{\mathbf H}f = \\ & \frac{\partial }{\partial t} f + [H,f] \end{array} </math>

• В канонических координатах <math>(q_i,p_j)</math> скобки Пуассона принимают вид

<math>[f,g] = \sum_{i=1}^{N} \left(

\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q^{i}} - \frac{\partial f}{\partial q^{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} \right) </math>

Философское значение

Скобки Пуассона сыграли важную эвристическую роль при создании квантовой механики методом классической аналогии между классическими и квантовыми скобками Пуассона.