Русская Википедия:Слабая производная
«Слабая производная» (в математике) — обобщение понятия производной функции («сильная производная») для функций, интегрируемых по Лебегу (то есть из пространства <math>L_1</math>), но не являющихся дифференцируемыми.
Определение
Пусть <math>u</math> — функция из <math>L^1([a,b])</math>. Функцию <math>v(t)</math> из <math>L^1([a,b])</math> называют «слабой производной» <math>u</math>, если
- <math>\int_a^b u(t)\varphi'(t)dt=-\int_a^b v(t)\varphi(t)dt</math>
для всех непрерывно дифференцируемых функций <math> \varphi </math> при <math>\varphi(a)=\varphi(b)=0</math>. Это определение основано на методе интегрирования по частям.
Обобщая на <math>n</math> измерений, если <math>u</math> и <math>v</math> принадлежат пространству <math>L_{loc}^1(U)</math> локально интегрируемых функций для некоторой области <math>U \subset \mathbb{R}^n</math>, и если <math>\alpha</math> — это мультииндекс, то <math>v</math> называется слабой производной <math>u</math> порядка <math>\alpha</math>, если
- <math>\int_U u D^{\alpha} \varphi=(-1)^{|\alpha|} \int_U v\varphi</math>
для всех <math>\varphi \in C^{\infty}_c (U)</math> — финитных в <math>U</math> бесконечно гладких функций.
Если у функции <math>u</math> есть слабая производная, то её часто обозначают через <math>D^{\alpha}u</math>, так как она единственна с точностью до множества меры нуль.
Примеры
- Функция u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, которая не имеет производной в точке t = 0, тем не менее имеет на промежутке [−1, 1] слабую производную v, так называемую «функцию знака» (sgn), определяемую следующим соотношением:
- <math>v \colon [-1,1]\to [-1,1] \colon t \mapsto v(t) = \begin{cases} 1, & t > 0; \\ 0, & t = 0; \\ -1, & t < 0. \end{cases} </math>
- Это не единственная производная u: всякая функция w совпадающая с v почти всюду также будет слабой производной u. Обычно это не является проблемой, так как с точки зрения и пространств Lp, и пространств Соболева они эквивалентны.
- Характеристическая функция множества рациональных чисел D (Функция Дирихле) нигде не дифференцируема, но слабую производную имеет всюду. Так как мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то
- <math> \int D(t) \varphi(t) dt = 0 </math>
- Таким образом, <math> v(t)\equiv 0 </math> есть слабая производная функции D. Это должно быть интуитивно понятно, ведь D в пространстве Lp эквивалентна тождественному нулю.
Свойства
- Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, то они совпадают на множестве полной меры (почти всюду). Если, как принято в пространствах <math>L_p</math>, полагать почти всюду равные функции эквивалентными, то слабая производная определена единственным образом.
- Если u имеет обычную («сильную») производную, тогда она будет являться слабой производной. В этом смысле, слабая производная является обобщением сильной. Более того, классические правила для производных от суммы и от произведения функций сохраняются и для слабых производных.
Развитие
Понятие слабой производной заложило основу для построения т. н. слабых решений в пространстве Соболева, которые оказались полезными в теории дифференциальных уравнений и в Функциональном анализе.
Литература
