Русская Википедия:След (теория полей)

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Шаблон:Другие значения След (Шаблон:Lang-en) — отображение элементов конечного расширения поля <math>E \supset K</math> в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение K степени <math>n=[E:K]</math>, <math>\alpha \in E</math> — элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над полем K, этот элемент определяет линейное преобразование <math>x\mapsto \alpha x</math>. Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. След этой матрицы называется следом элемента α. Так как в другом базисе данному отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же следом, след не зависит от выбора базиса, то есть каждому элементу расширения однозначно сопоставляется его след. Он обозначается <math>\text{Tr}_K^E(\alpha)</math> или, если понятно, о каком расширении идёт речь, просто <math>\text{Tr}(\alpha)</math>.

Свойства следа

• <math>\text{Tr}(\alpha+\beta)=\text{Tr}(\alpha)+\text{Tr}(\beta)</math>
• <math>\text{Tr}(c\alpha)=c\text{Tr}(\alpha)</math> при <math>c \in K</math>
• Если Е — сепарабельное расширение, то <math>\text{Tr}_K^E</math> — ненулевой функционал, если несепарабельно, то <math>\text{Tr}_K^E=0</math>.
• След транзитивен, то есть для цепочки расширений <math>K \subset E \subset F </math> имеем <math>\text{Tr}_K^E(\text{Tr}_E^F(\alpha))=\text{Tr}_K^F(\alpha)</math>
• Если <math>E = K(\alpha)</math> — простое алгебраическое расширение и <math>f(x) = x_n+a_{n-1}x_{n-1}+...+a_1x+a_0</math> — минимальный многочлен α, то <math>\text{Tr}_K^E(\alpha)=-a_{n-1}</math>

Выражение следа через автоморфизмы E над K

Пусть σ₁,σ₂…σ_m — все автоморфизмы E, оставляющие неподвижными элементы K. Если E сепарабельно, то m равно степени [E:К]=n. Тогда для следа существует следующее выражение:

<math>\text{Tr}_K^E(\alpha)=\sigma_1(\alpha)+\sigma_2(\alpha)+\ldots +\sigma_m(\alpha)</math>

Если E несепарабельно то m≠n, но n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p: n=pⁱm.

Тогда <math>\text{Tr}_K^E(\alpha)=(\sigma_1(\alpha)+\sigma_2(\alpha)+\ldots +\sigma_m(\alpha))^{m/n}</math>

Пример

Пусть K — поле действительных чисел, а E — поле комплексных чисел. Тогда след числа <math>a+bi</math> равен <math>2a</math>. След комплексного числа можно вычислить по формуле <math>\text{Tr}\; z=z+\bar z</math>, и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение — единственный автоморфизм поля комплексных чисел.

См. также

• Норма (теория полей)

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967