Русская Википедия:Словарная метрика на группе

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Словарная метрика — способ задавать расстояния на конечнопорождённой группе.

Конструкция

Если выбрана и зафиксирована конечная система образующих <math>F</math> в конечнопорождённой группе <math>\Gamma</math>, то расстояние между элементами <math>g</math> и <math>h</math> — это наименьшее число образующих и обратных к ним, в произведение которых раскладывается частное <math>g^{-1}h</math>.

Свойства

• Словарная метрика левоинвариантна; то есть сохраняется умножении слева на фиксированный элемент группы.
  • Для неабелевых групп она, вообще говоря, не является правоинвариантной.
• Словарная метрика совпадает с расстоянием в графе Кэли для той же системы образующих.
• Словарная метрика не сохраняется при замене системы образующих, однако она изменяется квазиизометрично (в данном случае это то же самое, что билипшицевым образом). То есть для некоторых констант <math>C_1, C_2</math> имеет место:

  <math>\forall g,h \in G \quad \frac{1}{C_1} d_2(g,h) \le d_1 (g,h) \le C_2 d_2(g,h).</math>.

• В частности, это позволяет применять с помощью словарной метрики к группе геометрические понятия, сохраняющиеся при квазиизометрии. Например, говорить о степени роста группы (полиномиальной, экспоненциальной, промежуточной) и о её гиперболичности.

Вариации и обобщения

Аналогичным способом словарная метрика может быть построена на произвольной группе (не обязательно конечнопорождённой), при этом становится необходимо брать бесконечную систему образующих и многие описанные свойства перестают выполняться.

Ссылки

• J. W. Cannon, Geometric group theory, in Handbook of geometric topology pages 261--305, North-Holland, Amsterdam, 2002, ISBN 0-444-82432-4