Русская Википедия:Сложные проценты
Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты путем выполнения двойной операции — выплата процентов и пополнение. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или, при наличии долга, проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты. То же, что и сложный процент. Проценты по вкладу с капитализацией могут начисляться ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и ежегодно. Если их не выплачивают, то прибавляют к сумме вклада. И в следующем периоде проценты будут начислены уже на большую сумму.
Расчет
Общая сумма, которую получит вкладчик, при расчёте по сложному проценту будет равна <math>x\cdot(1 + \frac{a}{100})^n</math>, где <math>x</math> — начальная сумма вложенных средств, <math>a > -1</math> — годовая процентная ставка, <math>n</math> — срок вклада в годах. При вкладе по ставке s% годовых, после первого года хранения капитал составил бы x плюс s% от неё, то есть возрос бы в <math>(1 + \frac{s}{100})</math> раза. На второй год s% рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в <math>(1 + \frac{s}{100})</math> раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в <math>(1 + \frac{s}{100})</math> раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в <math>(1 + \frac{s}{100})^2</math> раз. За три года — в <math>(1 + \frac{s}{100})^3</math> раз.
К году N первичный вклад вырос бы до величины в <math>(1 + \frac{s}{100})^{N}</math> раз больше первоначальной.
В применении к ежемесячной капитализации формула сложного процента имеет вид:
<math>x\cdot(1 + \frac{s}{12\cdot100})^m</math>
где x — начальная сумма вклада, s — годовая ставка в процентах, m — срок вклада в месяцах.
Пример
Хорошей иллюстрацией является «лепта вдовицы» из евангельского рассказа о бедной вдове, на которую обратил внимание учеников Иисус Христос: она оставила в качестве пожертвования на иерусалимский храм последнее, что у неё было, — две самых мелких монеты, лепты. Если представить себе, что некий банк существует с того времени по сей день, всё это время обеспечивая капитализацию процентов по вкладам в сумме, скажем, пять процентов годовых, и лепта этой вдовы была внесена на счёт в этом банке, то какая сумма накопилась бы на этом счёте к сегодняшнему дню?
Последующие расчёты как раз и иллюстрируют применение сложных процентов. Для наглядности будем говорить не о лепте, а о копейке. Если ставка составляет 5 % годовых, то после первого года хранения капитал составил бы копейку плюс 5 % от неё, то есть возрос бы в (1 + 0,05) раза. На второй год 5 % рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + 0,05) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + 0,05) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в <math>(1 + 0,05)^2</math> раз. За три года — в <math>(1 + 0,05)^3</math> раз.
К 2022 году первичный вклад вырос бы до величины в <math>(1 + 0,05)^{2022}</math> раз больше первоначальной. Величина <math>(1 + 0,05)^{2022}</math> составляет <math>6,99\cdot10^{42}</math>. При первоначальном вкладе в одну копейку к 2021 году сумма составит <math>6,99\cdot10^{42}</math> копеек, то есть около 7 тредециллионов рублей.
Первоначальная идея подобного примера принадлежит польскому математику Станиславу Ковалю и опубликована им в начале семидесятых годов в книге «500 математических загадок»[1].
Точная формула для оплаты ежемесячно
Точная формула для ежемесячного платежа
<math>C=\frac{Pr}{1-\frac{1}{(1 + r)^n}}</math>
с = ежемесячный платёж, P = начальная сумма, r = ежемесячная процентная ставка, n = количество периодов выплат.
Периодическое начисление
Функция суммы сложных процентов является экспоненциальной функцией с точки зрения времени.
<math>P(t)=P_0(1 + {r \over n})^{nt}</math>
t = общее время в годах
n = число периодов наращения в год
г = номинальная годовая процентная ставка, выражается в виде десятичной дроби. 6 т.д .:% = 0,06
Непрерывное начисление
Пределом <math>(1 + {r \over n})^{nt}</math> при <math>n \rightarrow \infin </math> является <math>e^{rt}</math> (см. E (число)), таким образом, для непрерывного начисления формула принимает вид:
<math>P(t) = P_0e^{rt} </math>
Мнения
Известный американский инвестор Уоррен Баффет считает сложные проценты неотъемлемой частью любой стратегии долгосрочного инвестированияШаблон:Sfn.
Примечания
Литература
Шаблон:Вс Шаблон:Эталонные процентные ставки (бенчмарки) денежного рынка
