Русская Википедия:Смешанное уравнение
Смешанные уравнения (уравнения смешанного типа) — класс дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, являющихся гиперболическими в одной области пространства переменных и эллиптическими — в другой. Эти области разделены линией (в случае двух независимых переменных) или поверхностью (в случае трёх и более независимых переменных), в точках которой уравнение относится к параболическому типу или не определено. Эта линия (поверхность) называется линией (поверхностью) смены типа или линией (поверхностью) вырождения.
В случае двух независимых переменных линия вырождения является дискриминантной кривой уравнения характеристик. Широкий класс этих уравнений может быть представлен в виде: <math>y \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} + a(x,y)\frac{\partial z}{ \partial x} + b(x,y)\frac{\partial z}{ \partial y} + c(x,y) z + d(x,y) = 0.</math>Шаблон:Sfn
По сравнению с уравнениями гиперболического, эллиптического и параболического типов, теория смешанных уравнений имеет сравнительно недолгую историю. Впервые смешанные уравнения с двумя независимыми переменными были систематически исследованы итальянскими математиками Ф. Трикоми и М. Чибрарио. В СССР уравнения смешанного типа изучались многими математиками, в частности, им уделялось большое внимание в школах М. А. Лаврентьева и А. В. Бицадзе. Уравнения смешанного типа нашли многочисленные применения — например, в задачах, связанных с трансзвуковой газовой динамикой.
Уравнение Трикоми
Простейший пример смешанного уравнения — уравнение Трикоми (иногда называемое также уравнением Эйлера — Трикоми):
<math>u_{xx} = x u_{yy}</math>,
относящееся к гиперболическому типу в области <math>x>0</math> и к эллиптическому типу — в области <math>x<0.</math> Линия смены типа уравнения Трикоми совпадает с осью y, а уравнение характеристик совпадает с так называемой нормальной формой Чибрарио. Характеристики образуют семейство полукубических парабол, лежащих в гиперболической области с точками возврата на линии смены типа.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889—906.
- Cinquini-Cibrario M. Una propriete degli integrali delle equazioni ellitico-paraboliche del secondo tipo misto, — Reale Accad. D'Italia, Rendiconti Classe di Scienze, Fisiche, Mat. e Nat., ser. 7, 3:9 (1952).
- Лаврентьев М. А., Бицадзе А. В. К проблеме уравнений смешанного типа, — Докл. АН, 70:3 (1950), 373–376.
- Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа, — Любое издание.
- Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа, — Любое издание.
- Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешанного типа и их приложения к газодинамике, — Изд. ЛГУ, 1990.
- F. G. Tricomi. Correnti fluide transoniche ed equazioni a derivate parziali di tipo misto, — Univ. Politec. Torino, Rend. Sem. Mat. 12 (1953), 37-52.
- C. Ferrari, F. G. Tricomi. Transsonic Aerodynamics, — Academic Press, New York, 1968.
- Рихард фон Мизес. Математическая теория течений сжимаемой жидкости, — Москва, 1961.
- Lipman Bers. Mathematical aspects of subsonic and transonic gas dynamics, Surveys in Applied Mathematics. 3. New York: John Wiley & Sons, Inc. XV, 278 p. (1958).
