Русская Википедия:Смешанный объём
Смешанный объём — числовая характеристика набора из <math>n</math> выпуклых тел в <math>n</math>-мерном евклидовом пространстве.
Смешанный объём набора <math>K_1,K_2,\dots,K_n</math> обычно обозначается
- <math>V(K_1,K_2,\dots,K_n)</math>.
Определение
Пусть <math>K_1,K_2,\dots,K_n</math> набор из <math>n</math> выпуклых тел в <math>\R^n</math> и <math>\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n</math> положительные вещественные числа. Обозначим через <math>v(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)</math> объём тела
- <math>\lambda_1\cdot K_1+\lambda_2\cdot K_2+\dots+\lambda_n\cdot K_n,</math>
где «<math>+</math>» обозначает сумму Минковского и
- <math>\lambda_i\cdot K_i=\{\,\lambda\cdot x\mid x\in K_i\,\}.</math>
Функция <math>v(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)</math> является однородным многочленом степени <math>n</math>. Коэффициент этого многочлена при <math>\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\dots\cdot\lambda_n</math> по определению равен <math>n!\cdot V(K_1,K_2,\dots,K_n)</math>.
Заметим, что
- <math>v(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)
=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^n V(K_{i_1},K_{i_2},\dots,K_{i_n})\cdot\lambda_{i_1}\cdot\lambda_{i_2}\cdot\dots\cdot\lambda_{i_n}.</math>
Свойства
- Для произвольных неотрицательных чисел <math>\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n</math>,
- <math> V(\lambda_1\cdot K_1,\lambda_2\cdot K_2,\dots,\lambda_n\cdot K_n)=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\dots\cdot\lambda_n\cdot V(K_1,K_2,\dots,K_n)</math>
- Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
- Смешанный объём монотонен по включению тел.
- Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа.
- Смешанный объём неотрицателен.
- Более того, <math>V(K_1,K_2,\dots,K_n)>0</math> тогда и только тогда, когда в каждом <math>K_i</math> можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
- Для неотрицательного целого <math>k\le n</math> смешанный объём <math>n-k</math> копий выпуклого тела <math>K</math> в <math>\R^n</math> и <math>k</math> копий единичного шара выражается через <math>k</math>-тую среднюю поперечную меру <math>K</math>. В частности
- Смешанный объём набора из <math>n</math> копий <math>K</math> равен обычному объёму <math>K</math>.
- Смешанный объём набора из <math>n-1</math> копий <math>K</math> и единичного шара равен <math>\frac{1}{n}</math> площади поверхности <math>K</math>.
- Типичное число решений системы полиномиальных уравнений <math>f_1=f_2=\dots=f_n=0</math> равно смешанному объёму многогранников Ньютона <math>f_i</math>.
- неравенство Минковского
- <math>V^n(K,L,\dots,L)\ge V(K)\cdot V^{n-1}(L)</math>
- неравенство Александрова — Фенхеля
- <math> V(K_1, K_2, K_3, \ldots, K_n) \geq \sqrt{V(K_1, K_1, K_3, \ldots, K_n)\cdot V(K_2,K_2, K_3,\ldots,K_n)}.</math>
См. также
Литература
- Бураго, Юрий Дмитриевич, Виктор Абрамович Залгаллер. Геометрические неравенства. Наука, 1980.
