Русская Википедия:Собственные элементы орбиты
Собственные (свободные) элементы орбиты — параметры, характеризующие орбиту небесного тела при его движении под воздействием возмущений. Собственные элементы практически не меняются со временем, в отличие от оскулирующих элементов, которые непостоянны и в каждый момент времени определяются как обычные элементы орбиты в предположении, что возмущения отсутствуют. Таким образом, собственные элементы являются непосредственными характеристиками орбиты тела, не изменёнными внешними факторами.
Описание
Оскулирующие элементы
В задаче двух тел орбита небесного тела имеет вид конического сечения, а форма орбиты, её положение в пространстве и положение тела на ней однозначно описывается шестью параметрами, которые называются элементами орбиты. Один из возможных наборов элементов, который будет использоваться далее — большая полуось <math>a</math>, эксцентриситет <math>e</math>, наклонение <math>I</math>, долгота восходящего узла <math>\Omega</math>, долгота перицентра <math>\varpi</math> и средняя долгота <math>\lambda</math>Шаблон:Ref+Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.
Однако при наличии более чем двух тел в системе взаимодействие между ними приводит к тому, что орбиты тел уже не описываются таким способом. На практике, например, в Солнечной системе орбиты планет не слишком отличаются от конических сечений, и их можно описать обычными элементами орбиты, однако в этом случае они меняются со временем. Для каждого момента времени элементы орбиты, которые бы точно описывали движение тела, если бы в этот момент все возмущения исчезли, называются оскулирующими элементами орбитыШаблон:Sfn.
Возмущающая функция
Возмущающая функция представляет собой потенциал гравитационного взаимодействия с другими телами системы, кроме центральногоШаблон:Ref+Шаблон:Sfn. От неё зависит изменение оскулирующих элементов со временем: эта связь выражается посредством планетных уравнений ЛагранжаШаблон:Sfn.
Для оценки того, как изменяются элементы орбиты со временем, можно представить систему с массивным центральным телом и двумя телами значительно меньшей массы. Тогда можно рассмотреть, как будет двигаться тело пренебрежимо малой массы — пробная частица — в поле тяготения центрального тела, с учётом возмущений от двух других тел. Возмущающую функцию для пробной частицы можно приближённо выразить через элементы орбитШаблон:Ref+Шаблон:Sfn:
- <math>R = na^2 \left[\frac{1}{2} Ae^2 + \frac{1}{2} BI^2 + \sum_{j=1}^2 A_j ee_j \cos(\varpi - \varpi_j) + \sum_{j=1}^2 B_j II_j \cos(\Omega - \Omega_j)\right], </math>
где <math>n</math> — среднее движение (средняя угловая скорость движения по орбите)Шаблон:Sfn, элементы орбиты без индексов относятся к пробной частице, с индексами — к возмущающим телам. Значения <math>A, A_j, B, B_j</math> приведены нижеШаблон:Sfn:
- <math>A = n \frac{1}{4} \sum_{j=1}^2 \frac{m_j}{m_c} \alpha_j \bar \alpha_j b_{3/2}^{(1)} (\alpha_j),</math>
- <math>A_j = -n \frac{1}{4} \frac{m_j}{m_c} \alpha_j \bar \alpha_j b_{3/2}^{(2)} (\alpha_j),</math>
- <math>B = -n \frac{1}{4} \sum_{j=1}^2 \frac{m_j}{m_c} \alpha_j \bar \alpha_j b_{3/2}^{(1)} (\alpha_j),</math>
- <math>B_j = n \frac{1}{4} \frac{m_j}{m_c} \alpha_j \bar \alpha_j b_{3/2}^{(1)} (\alpha_j).</math>
В данных формулах <math>m_j, m_c</math> — массы, соответственно, возмущающего тела с индексом <math>j</math> и центрального тела. <math>b_s^{(j)}(\alpha)</math> — коэффициенты Лапласа, определяемые следующим образомШаблон:Sfn:
- <math>\frac{1}{2} b_s^{(j)}(\alpha) = \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2\pi} \frac{\cos j \psi d \psi}{(1 - 2 \alpha \cos \psi + \alpha^2)^s}.</math>
Символы <math>\alpha_j, \bar \alpha_j</math> означаютШаблон:Sfn:
- <math>\alpha_j =
\begin{cases}
a_j < a: a_j / a \\ a_j > a: a / a_j \\
\end{cases},</math>
- <math>\bar \alpha_j =
\begin{cases}
a_j < a: 1 \\ a_j > a: a / a_j \\
\end{cases}.</math>
Далее производится переход от элементов орбиты к следующим коэффициентам, поскольку в них планетные уравнения Лагранжа записываются более удобным образомШаблон:Sfn:
- <math>h = e \sin \varpi,</math>
- <math>k = e \cos \varpi,</math>
- <math>p = I \sin \Omega,</math>
- <math>q = I \cos \Omega.</math>
Аналогичным образом определяются коэффициенты <math>h_j, k_j, p_j, q_j</math> для возмущающих тел. Тогда выражение для <math>R</math> записываются в следующем видеШаблон:Sfn:
- <math>R = na^2 \left[\frac{1}{2} A(h^2 + k^2) + \frac{1}{2} B(p^2 + q^2) + \sum_{j=1}^2 A_j (hh_j + kk_j) + \sum_{j=1}^2 B_j (pp_j + qq_j)\right].</math>
Планетные уравнения Лагранжа в коэффициентах <math>h, k, p, q</math> записываются какШаблон:Sfn:
- <math>\dot h = \frac{1}{na^2} \frac{\partial R}{\partial k} = Ak + \sum_{j=1}^2 A_j k_j,</math>
- <math>\dot k = - \frac{1}{na^2} \frac{\partial R}{\partial h} = - Ah - \sum_{j=1}^2 A_j h_j,</math>
- <math>\dot p = \frac{1}{na^2} \frac{\partial R}{\partial q} = Bq + \sum_{j=1}^2 B_j q_j,</math>
- <math>\dot q = - \frac{1}{na^2} \frac{\partial R}{\partial p} = - Bp - \sum_{j=1}^2 B_j p_j,</math>
где точка над символом означает производную по времени. Величины <math>h_j, k_j, p_j, q_j</math>определяются при анализе движения возмущающих тел под воздействием центрального тела и другого возмущающего тела, и с учётом этого система дифференциальных уравнений имеет решениеШаблон:Sfn:
- <math>h = e_\text{free} \sin (At + \beta) + h_0(t),</math>
- <math>k = e_\text{free} \cos (At + \beta) + k_0(t),</math>
- <math>p = I_\text{free} \sin (Bt + \gamma) + p_0(t),</math>
- <math>q = I_\text{free} \cos (At + \gamma) + q_0(t).</math>
Здесь <math>t</math> — время, а <math>e_\text{free}, I_\text{free}, \beta, \gamma</math> — константы, которые зависят из начальных условий. <math>h_0, k_0, p_0, q_0</math> — величины, зависящие от параметров орбиты возмущающих тел, а также от большой полуоси орбиты пробной частицы, но не от других элементов орбиты. Последние четыре параметра меняются со временем. Такие же по форме решения получаются и при рассмотрении большего количества возмущающих телШаблон:Sfn.
Собственные элементы
Полученные решения имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Для этого вводятся следующие величиныШаблон:Sfn:
- <math>e_\text{forced} = \sqrt{h_0^2 + k_0^2}</math>
- <math>I_\text{forced} = \sqrt{p_0^2 + q_0^2}</math>
Сначала можно рассмотреть отдельно решение <math>\{h, k\}</math>. Из определения данных величин следует, что точка на плоскости <math>(k, h)</math> имеет радиус-вектор, по модулю равный <math>e</math> и образует угол <math>\varpi</math> с осью <math>k</math>. С учётом вида этого решения можно представить его как сумму двух векторов: первый соединяет начало координат с точкой <math>(h_0, k_0)</math>, имеет модуль <math>e_\text{forced}</math> и образует угол, который можно назвать <math>\varpi_\text{forced}</math>, с осью <math>k</math>. Второй вектор соединяет точки <math>(h_0, k_0)</math> с <math>(h, k)</math>, имеет модуль <math>e_\text{free}</math> и составляет угол <math>\varpi_\text{free} = At + \beta</math> с осью <math>k</math>Шаблон:Sfn.
Таким образом, изменение оскулирующих элементов орбиты частицы можно представить как движение в плоскости <math>(k, h)</math>. В этих координатах частица равномерно движется по окружности с радиусом <math>e_\text{free}</math> вокруг точки <math>(h_0, k_0)</math>, которая, в свою очередь, перемещается сложным образом. Аналогичные рассуждения и выводы можно получить для решения <math>\{p, q\}</math>. Значения <math>e_\text{free}, I_\text{free}, \varpi_\text{free}, \Omega_\text{free}</math> называются собственными (или свободными) элементами орбиты, которые практически не изменяются со временемШаблон:Ref+ и их можно считать фундаментальными свойствами орбиты частицы. Значения <math>e_\text{forced}, I_\text{forced}, \varpi_\text{forced}, \Omega_\text{forced}</math> называют вынужденными элементами — они меняются со временем и зависят от возмущенийШаблон:Sfn.
Проведённый выше анализ не показывает различий между оскулирующей и собственной большую полуосью орбиты, поскольку в нём не принимались во внимание короткопериодические возмущения, однако только такие возмущения влияют на большую полуось. Поскольку на длительных промежутках времени вклад короткопериодических возмущений «усредняется» и сводится к нулю, большая полуось не демонстрирует долговременных изменений[1]Шаблон:Sfn.
Собственные элементы являются квази-интегралами движения и остаются неизменными в течение очень длительного времени. Они отражают некоторым образом «усреднённые» по времени характеристики движения небесного тела, в которых исключено влияние коротко- и долгопериодических возмущений[2].
Существуют различные способы вычисления собственных элементов на основе наблюдаемых величин. В общих чертах для этого сначала составляется модель сил, действующих на исследуемое тело, производится усреднение элементов орбиты по времени, чтобы избавиться от влияния короткопериодических возмущений, а затем производится вычисление остальных возмущений и вычитание вынужденных элементов из оскулирующих[1][2][3].
Собственные элементы широко используются для изучения, например, динамики пояса астероидов, а также для разделения астероидов на семейства (см. нижеШаблон:Переход)[2][3]. В следующей таблице представлены собственные и оскулирующие элементы Цереры на эпоху MJD 59800,0 (9 августа 2022 года)[4][5]:
| <math>a</math>, а.е. | <math>e</math> | <math>i</math>, ° | |
|---|---|---|---|
| Собственные | 2,7612 | 0,115 | 9,660 |
| Оскулирующие | 2,7666 | 0,0786 | 10,587 |
Семейства Хираямы
Шаблон:Основная статьяВ 1918 году Киёцугу Хираяма построил диаграммы (<math>a</math>, <math>e</math>) и (<math>a</math>, <math>i</math>) для известных астероидов и обнаружил, что в некоторых областях на диаграмме наблюдается скучивание. Первоначально Хираяма строил диаграммы для оскулирующих элементов, но впоследствии использовал собственные элементы, на которых скучивание было заметно более явно[1][2]Шаблон:Sfn.
Таким способом было выделено множество семейств, например, семейства Фемиды, Эос, Корониды, Марии. Считается, что семейства астероидов возникают при полном или частичном разрушении «родительского» астероида в результате столкновения: фрагменты приобретают небольшую относительную скорость по сравнению со скоростью движения по орбите, и остаются близко друг к другу в фазовом пространстве собственных элементов орбиты на протяжении длительного времени[3].
Примечания
Комментарии
Источники
Литература
