Русская Википедия:Совершенная степень
Совершенная степень — положительное целое число <math>n</math>, являющееся целой степенью <math>k</math> положительного целого числа <math>m</math>: <math>n=m^k</math>. При <math>k=2,3</math> число <math>n</math> называется соответственно совершенным (полным) квадратом и совершенным кубом. Иногда числа 0 и 1 также считаются совершенными степенями (так как <math>0^k = 0</math> и <math>1^k=1</math> для любого <math>k > 0</math>).
Последовательность совершенных степеней может быть сформирована путём перебора возможных значений для <math>m</math> и <math>k</math>; первые несколько её членов (включая повторяющиеся)[1]:
- <math> 2^2 = 4,\ 2^3 = 8,\ 3^2 = 9,\ 2^4 = 16,\ 4^2 = 16,\ 5^2 = 25,\ 3^3 = 27,</math> <math> 2^5 = 32,\ 6^2 = 36,\ 7^2 = 49,\ 2^6 = 64,\ 4^3 = 64,\ 8^2 = 64, \dots </math>
Первые совершенные степени без дубликатов таковы[2]:
- (иногда 0 и 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …
Свойства
Сумма обратных совершенных степеней (включая дубликаты, такие как <math>3^4 = 9^2 = 81</math>) равна 1:
- <math>\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}=1</math>,
что можно доказать следующим образом:
- <math>\sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{m^k}
=\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{m^k} =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m^2} \left( \frac{m}{m-1} \right) =\sum_{m=2}^{\infty} \frac {1}{m(m-1)} =\sum_{m=2}^{\infty} \left( \frac {1}{m-1} - \frac {1}{m} \right) = 1</math>.
Сумма ряда обратных величин совершенных степеней (не включая единицу) без дубликатов равна[3]:
- <math>\sum_i\frac{1}{n_i}=\sum_{k=2}^{\infty}\mu(k)(1-\zeta(k)) \approx 0{,}874464368 \dots</math>,
где <math>\mu(k)</math> — функция Мёбиуса, а <math>\zeta(k)</math> — дзета-функция Римана.
Согласно Эйлеру, в одном из утерянных писем Гольдбах показал, что сумма чисел, обратных <math>n_i-1</math> из последовательности совершенных степеней <math>\{n_i\}</math> без единицы и дубликатов равна 1:
- <math>\sum_{i}\frac{1}{n_i-1}= {\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}+ \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + \frac{1}{26}+ \frac{1}{31}}+ \cdots = 1</math>,
иногда это утверждение называется теоремой Гольдбаха — Эйлера.
В 2002 году Шаблон:Нп5 доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней — это <math>2^3 = 8, 3^2 = 9</math>, тем самым доказав гипотезу Каталана.
Нерешённая проблема — гипотеза Пиллаи, согласно которой для любого заданного положительного целого числа <math>k</math> существует только конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна <math>k</math>.
Выявление совершенных степеней
Выявление того, является ли данное натуральное число <math>n</math> совершенной степенью, может быть выполнено множеством различных способов с различными уровнями сложности. Один из простейших таких методов — рассмотреть все возможные значения для <math>k</math> по каждому из делителей числа <math>n</math> вплоть до <math>k < n</math>. Если делители <math>n</math> равны <math>n_1, n_2, \dots, n_j</math>, тогда одно из значений <math>n_1^2, n_2^2, \dots, n_j^2, n_1^3, n_2^3, \dots</math> должно быть равно <math>n</math>, если <math>n</math> действительно является совершенной степенью.
Этот метод можно сразу упростить, вместо этого рассматривая только простые значения <math>k</math>, поскольку для составного <math>k = ap</math>, где <math>p</math> — простое число, <math>n = m^k</math> может быть переписано как <math>n = m^k = m^{ap} = (m^a)^p</math>. Из-за этого следует, что минимальное значение <math>k</math> обязательно должно быть простым.
Если известна полная факторизация <math>n</math>, например, <math>n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_r^{\alpha_r}</math>, где <math>p_i</math> — различные простые числа, то <math>n</math> — совершенная степень тогда и только тогда, когда <math>\gcd (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r)> 1</math> (<math>\gcd</math> — наибольший общий делитель). Например, для <math>n = 2^{9624}</math>: поскольку <math>\gcd (96, 60, 24) = 12</math>, <math>n</math> — это совершенная 12-я степень (и совершенная 6-я степень, 4-я степень, куб и квадрат, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).
Примечания
Ссылки
Шаблон:Числа по характеристикам делимости Шаблон:Классы натуральных чисел
