Русская Википедия:Совершенное поле
В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
- 1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.
- 2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.
- 3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.
- 4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.
- 5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.
- 6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k.
В противном случае поле называется несовершенным.
Совершенные поля полезны тем, что теория Галуа над ними становится значительно проще, так как условие сепарабельности расширений поля выполняется автоматически.
Более общо, кольцо характеристики p называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса для него является автоморфизмом.[1] (В случае целостных колец это эквивалентно условию "каждый элемент является p-й степенью).
Примеры
- Все поля характеристики ноль являются совершенными, например, поле рациональных чисел.
- Все конечные поля.
- Все алгебраически замкнутые поля.
- Алгебраические расширения совершенного поля также являются совершенными.
Большинство полей, появляющихся на практике, совершенные. Примеры несовершенных полей доставляет алгебраическая геометрия в характеристике p > 0. Например, поле рациональных функций от одной переменной над полем характеристики p является несовершенным, так как в этом поле отсутствует p-й корень из x.
Совершенное замыкание
В характеристике p > 0 можно «сделать» поле k совершенным, добавив к нему корни pr-й степени (r≥1) из всех элементов. Получившееся поле называется совершенным замыканием k и обычно обозначается <math>k^{p^{-\infty}}</math>.
В терминах универсального свойства, совершенное замыкание кольца <math>A</math> характеристики <math>p</math> — это совершенное кольцо <math>A_p</math> характеристики <math>p</math> вместе с гомоморфизмом колец <math>u:A\to A_p</math>, таким что для любого совершенного кольца <math>B</math> характеристики <math>p</math> с гомоморфизмом <math>v:A\to B</math> существует единственный гомоморфизм <math>f:A_p\to B</math>, такой что <math>v=f\circ u</math>. Совершенное замыкание существует для любого кольца[2], следовательно, функтор совершенного замыкания существует и является левым сопряженным забывающего функтора из категории совершенных колец в категорию колец.
Примечания
Литература
- Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы — М.: Наука, 1965
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- Шаблон:Citation
- ↑ Шаблон:Harvnb, Section II.4
- ↑ Шаблон:Harvnb, Section V.5.1.4, page 111
