Русская Википедия:Соглашение Эйнштейна

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности, теории упругости и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна (также известно как «правило суммирования Эйнштейна»): если одна и та же буква в обозначении индекса встречается в одночлене и сверху, и снизу, то такой одночлен полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

<math>v_k= a_ib^i_k</math>

индекс <math>i</math> встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

<math>v_k=\sum_i{a_ib^i_k}.</math>

Точнее

<math>v_k=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k,</math>

где <math>n</math> — размерность пространства, на котором определены <math>a</math> и <math>b</math> (здесь предполагается, что нумерация координат начинается с единицы).

Индекс, по которому проводится суммирование, называется немым; он может быть заменён любой буквой, при этом значение выражения, в которое он входит, не меняется (очевидно, что <math>a_ib^i \equiv a_jb^j</math>). Если индекс не является немым (свободный индекс), он должен встречаться в одинаковом положении в обеих частях (не)равенства; фактически в этом случае одно выражение представляет собой систему выражений (равенств или неравенств), число которых равно Шаблон:Math, где Шаблон:Math — количество свободных индексов. Например, если размерность Шаблон:Math = 4, то выражение

<math>r_{lk}= p_{li}q^i_k</math>

с двумя свободными индексами Шаблон:Math и Шаблон:Math представляет собой краткую запись 4²=16 равенств, в правой части каждого из которых стоит сумма четырёх произведений:

<math>r_{11}= p_{11}q^1_1 + p_{12}q^2_1 + p_{13}q^3_1 + p_{14}q^4_1;</math>

<math>r_{12}= p_{11}q^1_2 + p_{12}q^2_2 + p_{13}q^3_2 + p_{14}q^4_2;</math>

<math>...</math>

<math>r_{44}= p_{41}q^1_4 + p_{42}q^2_4 + p_{43}q^3_4 + p_{44}q^4_4.</math>

В случае использования выражений в виде дробей, таких как частные производные, верхние индексы, записываемые в знаменателе, считаются для применения правила как бы нижними и наоборот; например, выражение

<math>\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i,</math>

записывается в виде

<math>\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i</math>

или в ещё более простом виде, когда запятая перед индексом обозначает частное дифференцирование по соответствующей координате:

<math>f^{,i}dx_i.</math>

В некоторых случаях (если метрический тензор полагается всегда равным [[Символ Кронекера|Шаблон:Math]]) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве <math>\R^3</math>

<math>D_{\alpha\beta}n_\alpha = \sum_{\alpha=1}^{3} D_{\alpha\beta}n_\alpha.</math>

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать <math>D^{\alpha}_{\beta}n_\alpha</math>.