Русская Википедия:Соотношения Бриджмена (термодинамика)

Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску

Шаблон:Соотношения Бриджмена Соотношения Бриджмена представляют собой базовый набор уравнений для термодинамических производных. Носят имя американского физика Перси Уильямса Бриджмена.

Соотношения связывают термодинамические величины: температуру, Т, давление, Р, объем, V, энтропию, S и четыре наиболее распространенных термодинамических потенциала, а именно:

Внутренняя энергия U
Энтальпия H
Свободная энергия (энергия ГельмгольцаШаблон:Sfn) F
Энергия ГиббсаШаблон:Sfn. G

Для простой системы, в которой число частиц постоянно, уравнения Бриджмена выражают все термодинамические производные (то есть первые и вторые производные термодинамических потенциалов), через <math>P, T, V, S</math>, а также через три термодинамические характеристики среды:

Теплоемкость (при постоянном давлении) <math>C_P</math>
Коэффициент теплового расширения <math>\alpha</math>
Изотермическая сжимаемость <math>\beta_T</math>

Выражение термодинамических производных через уравнения Бриджмена

Многие термодинамические уравнения выражаются через частные производные термодинамических величин. Из восьми связанных между собой величин: <math>T, P, V, S, U, H, F, G, </math> можно образовать 336[K 1] частных производных типа <math>\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)_z</math>[K 2]. По предложению П. У. Бриджмена все эти производные выражаются через параметры состояния <math>T, P, V, S </math> и набор из всего лишь трёх производных, которые могут быть выражены через экспериментально определяемые величиныШаблон:Sfn, а именно, теплоёмкость при постоянном давлении <math>C_P</math>Шаблон:Sfn:

<math> C_P \equiv \left ( \frac{ \partial H}{ \partial T} \right )_P = T \left( \frac{ \partial S}{ \partial T} \right )_P ,</math>

производная объёма по температуре при постоянном давлении, которую можно выразить через коэффициент теплового расширения<math>\alpha</math>Шаблон:Sfn:

<math> \left ( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right )_P = \alpha V . </math>

и, наконец, производная объёма по давлению при постоянной температуре, которая может быть выражена через изотермическую сжимаемость <math>\beta_t</math>Шаблон:Sfn:

<math> \left ( \frac{ \partial V }{ \partial P } \right )_T = - \beta_t V. </math>

Для применения метода Бриджмена к выводу выражения, например, для теплоемкости при постоянном объёме:

<math>C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V,</math>

которая является частной производной внутренней энергии по температуре при постоянном объёме, искомая производная записывается в виде отношения двух величин:

<math>\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=\frac{(\partial U)_V}{(\partial T)_V},</math>

выражения для которых берутся из приведённой ниже и выделенной цветом таблице: Шаблон:Eqref для числителя:

<math>(\partial U)_V=C_P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T+T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)^2_P</math>

и Шаблон:Eqref для знаменателя:

<math>(\partial T)_V=\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T .</math>

Их отношение даёт искомое выражение для <math>C_V</math>.

<math>C_V =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=\frac{(\partial U)_V}{(\partial T)_V}=\frac{({\rm B}15)}{-({\rm B}8)}=C_P + T \frac{\left[\left( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_P \right ]^2}

{\left( \frac{ \partial V}{ \partial P} \right )_T} . </math> Приложение полученного результата к 1 молю идеального газа даёт соотношение Майера: <math>C_P-C_V=R. </math>

Описанный метод выражения  частной производной через отношение двух по отдельности табулируемых выражений был предложен БриджменомШаблон:Sfn (на русском языке его описание имеется в книге Льюиса и РендаллаШаблон:Sfn)

Таблица уравнений Бриджмена

Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF Шаблон:EF

Применение якобианов для преобразования частных производных

Наиболее изящный и универсальный[K 3] метод замены переменных в термодинамических формулах, предложенный Н. Шоу (метод якобианов, 1935Шаблон:Sfn), основан на использовании функциональных определителей Якоби. В следующем разделе метод якобианов применён к выводу соотношений Бриджмена.

Якобиан второго порядка <math>\frac{D(u,v)}{D(x,y)}</math> представляет собой символическую запись следующего определителяШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn: Шаблон:EF Применение якобианов для замены одних частных производных другими при переходе от исходных независимых переменных <math>x,y</math> к новым независимым переменным <math>u,v</math> основаны на следующих свойствах якобиановШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

Шаблон:EF (любую частную производную можно выразить посредством якобиана)

Шаблон:EF Шаблон:EF

Шаблон:EF (переход от независимых переменных <math>x,y</math> к независимым переменным <math>u,v</math> посредством использования промежуточных переменных <math>w,z</math>)

Формально якобиан ведёт себя как дробь, что позволяет, например, «сокращать» одинаковые величины в числителе и знаменателеШаблон:Sfn. Обращение якобиана в ноль или в бесконечность означает, что входящие в него переменные не являются независимымиШаблон:Sfn.

Вывод соотношений Бриджмена

Выделенная цветом таблица (B1—B28) основана на перечисленных выше свойствах якобианов, а именно на возможности преобразовать любую термодинамическую производную к независимым переменным <math>T,P</math> (температура и давление):

<math>\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z=\frac{D(x,z)}{D(y,z)}=\frac{D(x,z)}{D(T,P)}\frac{D(T,P)}{D(y,z)}=\frac{D(x,z)}{D(T,P)}/\frac{D(y,z)}{D(T,P)}=\frac{(\partial x)_z}{(\partial y)_z},</math>

где уже использованное ранее обозначение вида <math>(\partial x)_y</math> означает якобиан от переменных <math>x,y</math> к переменным <math>T,P</math>:

<math>(\partial x)_y=\frac{D(x,y)}{D(T,P)}. </math>

Шаблон:Hider

См. также

Комментарии

Шаблон:Примечания

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Добротная статья

Шаблон:Спам-ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты
Магазины
Хостинг
Разное


Ошибка цитирования Для существующих тегов <ref> группы «K» не найдено соответствующего тега <references group="K"/>

Источник — http://wikihandbk.com/ruwiki/index.php?title=Русская_Википедия:Соотношения_Бриджмена_(термодинамика)&oldid=10830420