Русская Википедия:Соприкасающаяся окружность

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Osculating circle.svg

Соприкасающаяся окружность

Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́ — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Соприкасающаяся окружность (или прямая) в точке <math>P</math> кривой также может быть определена как предельное положение окружности (или прямой), проходящей через <math>P</math> и две близкие к ней точки <math>P_1,\ P_2</math>, когда <math>P_1,\ P_2</math> стремятся к <math>P</math>.

Связанные определения

• Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус — радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне кривой в заданной точке:

  <math>r^{-1} = k</math>

• Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой.

Координаты центра кривизны

Центр кривизны функции <math>y=f(x)</math> в точке <math>(x_0, f(x_0))</math> находится в следующей точке:

<math>\Bigg(x_0-\frac{f'(x_0)(1+(f'(x_0))^2)}{f(x_0)},f(x_0)+\frac{1+(f'(x_0))^2}{f(x_0)}\Bigg)</math>

Свойства

• Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали кривой; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.
• Инверсия соприкасающейся окружности есть соприкасающеяся окружность инверсии кривой в соответствующей точке.
• В вершинах кривой и только в них порядок касания соприкасающейся окружности превосходит 2.
• Теорема Тэйта — Кнезера утверждает, что если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга.

История

Понятие соприкасающейся окружности (Шаблон:Lang-la) было введено Лейбницем. Соответствующая геометрическая конструкция содержатся также в книге «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона.

Вариации и обобщения

• Соприкасающаяся сфера пространственной кривой <math>\gamma</math> есть сфера <math>\Sigma_s</math> с центром в точке

  <math>p(s)=\gamma(s)+\tfrac1{k(s)}\cdot \nu(s)-\tfrac{k'(s)}{k^2(s)\cdot\varkappa(s)}\cdot\beta(s)</math>

проходящая через <math>\gamma(s)</math>. Здесь <math>k(s)</math> и <math>\varkappa(s)</math> обозначают кривизну и кручение кривой, <math>\tau</math>, <math>\nu</math>, <math>\beta</math> — трёхгранник Френе.

• В случае если кривизна и кручение кривой отличны от нуля соприкасающаяся сфера определена и является единственной сферой, с которой кривая имеет степень соприкосновения хотя бы 3.