Русская Википедия:Сопряжённые числа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Файл:Complex conjugate picture.svg

Геометрическое представление <math>z</math> и его сопряжённого <math>\bar{z}</math> на комплексной плоскости

Сопряжённые числа (комплексно-сопряжённые числа) — пара комплексных чисел, обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку, мнимыми частями. Например, сопряжёнными являются числа <math>3+4i</math> и <math>3-4i</math>. Число, сопряжённое к числу <math>z</math>, обозначается <math>\overline{z}</math>. В общем случае, сопряжённым к числу <math> z=a+ib</math> (где <math>a</math> и <math>b</math> — действительные числа) является <math>\overline{z} = a - ib</math>.

Например:

<math>\overline{(3-2i)} = 3 + 2i</math>

<math>\overline{7}=7</math>

<math>\overline{i} = -i.</math>

На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид <math>r e^{i \phi}</math> и <math>r e^{-i \phi}</math>, что непосредственно следует из формулы Эйлера.

Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Свойства

Для произвольных комплексных чисел <math>z</math> и <math>w</math>:

• <math>\overline{(z \plusmn w)} = \overline{z} \plusmn \overline{w}</math>,
• <math>\overline{(zw)} = \overline{z}\; \overline{w}</math>
• <math>\overline{z} = z \Leftrightarrow z </math> является действительным числом,
• <math>\overline{z^n} = \overline{z}^n </math> для всех целых <math>n</math>,
• <math>\left| \overline{z} \right| = \left| z \right|</math>,
• <math>{\left| z \right|}^2 = z\overline{z} = \overline{z}z</math>,
• <math>\overline{\overline{z}} = z</math> (то есть, сопряжение является инволюцией),
• <math>z^{-1} = \frac{\overline{z}}Шаблон:\left</math>
• <math>e^{i\theta} = z/\left| z \right| = e^{i\arg z} = \sqrt {z/\overline{z}}</math> (если <math>z</math> не равно нулю).

Литература

• Шаблон:Книга