Русская Википедия:Сопряжённый оператор
Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.
Линейная алгебра
Преобразование <math>\varphi^*</math> называется сопряжённым линейному преобразованию <math>\varphi</math>, если для любых векторов <math>x</math> и <math>y</math> выполнено равенство <math>\left( \varphi \left( x \right), y \right) = \left( x, \varphi^* \left( y \right) \right)</math>. У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой <math>A^*=\Gamma^{-1} A^T \Gamma</math>, если пространство евклидово, и формулой <math>A^*=\overline{\Gamma^{-1} A^T \Gamma}</math> в унитарном пространстве. <math>\Gamma</math> здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают вид <math>A^*=A^T</math> и <math>A^*=\bar{A}^T</math> соответственно.
Общее линейное пространство
Пусть <math> E, \, L </math> — линейные пространства, а <math> E^*, \, L^* </math> — сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов, определённых на <math> E, \, L </math>). Тогда для любого линейного оператора <math>A\colon E \to L </math> и любого линейного функционала <math> g \in L^*</math> определён линейный функционал <math> f \in E^*</math> — суперпозиция <math> g </math> и <math>A</math>: <math> f(x)=g(A(x))</math>. Отображение <math> g\mapsto f</math> называется сопряжённым линейным оператором и обозначается <math> A^*\colon L^* \to E^* </math>.
Если кратко, то <math> (A^*g, x) = (g, Ax)</math>, где <math> (B, x)</math> — действие функционала <math>B</math> на вектор <math> x</math>.
Топологическое линейное пространство
Пусть <math> E, \, L </math> — топологические линейные пространства, а <math> E^*, \, L^* </math> — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определённых на <math> E, \, L </math>). Для любого непрерывного линейного оператора <math>A\colon E \to L </math> и любого непрерывного линейного функционала <math> g \in L^*</math> определён непрерывный линейный функционал <math> f \in E^*</math> — суперпозиция <math> g </math> и <math>A</math>: <math> f(x)=g(A(x))</math>. Нетрудно проверить, что отображение <math> g\mapsto f</math> линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также <math> A^*\colon L^* \to E^* </math>.
Банахово пространство
Пусть <math>A\colon X\to Y</math> — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства <math>X</math> в банахово пространство <math>Y</math>[1] и пусть <math>X^*, Y^*</math> — сопряжённые пространства. Обозначим <math>\forall x\in X, f\in Y^* [Ax,f]=f(Ax)</math>. Если <math>f</math> — фиксировано, то <math>[Ax,f]</math> — линейный непрерывный функционал в <math>X, [Ax,f]\in X^*</math>. Таким образом, для <math>\forall f\in Y^*</math> определён линейный непрерывный функционал из <math>X^* </math>, поэтому определён оператор <math>A^*\colon Y^*\to X^*</math>, такой что <math>[Ax,f]=[x,A^*f]</math>.
<math>A^*</math> называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.
Для <math>A^*</math> справедливы следующие свойства:
- Оператор <math>A^*</math> — линейный.
- Если <math>A</math> — линейный непрерывный оператор, то <math>A^*</math> также линейный непрерывный оператор.
- Пусть <math>O</math> — нулевой оператор, а <math>E</math> — единичный оператор. Тогда <math>O^*=O, E^*=E</math>.
- <math>(A+B)^*=A^*+B^*</math>.
- <math>\forall\alpha\in\mathbb C, (\alpha A)^*=\bar{\alpha}A^*</math>.
- <math>(AB)^*=B^*A^*</math>.
- <math>(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}</math>.
Гильбертово пространство
В гильбертовом пространстве <math> H</math> теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора <math>A\colon H \to H</math> равенство <math> (Ax, y) = (x, A^*y)</math> определяет сопряжённый оператор <math>A^*\colon H \to H</math>. Здесь <math> (x, y)</math> — скалярное произведение в пространстве <math> H</math>.
См. также
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Книга
- Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.
- ↑ Пространства <math>X,Y</math> предполагаются комплексными
