Русская Википедия:Состояние Фока
Фоковское состояние — это квантовомеханическое состояние с точно определённым количеством частиц. Названо в честь советского физика В. А. Фока.
Свойства фоковских состояний
В фоковском состоянии <math>|n\rangle</math> находится n частиц, где n — целое число.
В основном состоянии <math>|0\rangle</math> нет ни одного кванта. Часто <math>|0\rangle</math> также называют вакуумным состоянием.
При рассмотрении вторичного квантования состояния Фока формируют самый удобный базис пространства Фока.
Действие операторов рождения и уничтожения на них весьма просто. Они подчиняются следующим соотношениям статистики Бозе — Эйнштейна (случай частиц с целым спином):
- <math>a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle</math>
- <math>a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle</math>
- <math>|n\rangle={1\over\sqrt{n!}}(a^{\dagger})^n|0\rangle</math>
где <math>a</math> и <math>a^{\dagger}</math> — являются операторами уничтожения и рождения соответственно. Похожие соотношения выполняются для статистики Ферми — Дирака (для частиц с полуцелым спином).
Из этих соотношений следует, что
- <math>< a^{\dagger} a > = n </math>
и
- <math>Var( a^{\dagger} a) = 0,</math>
таким образом, измерение числа частиц <math>a^{\dagger} a</math> в состоянии Фока всегда даёт определённое значение без флуктуаций.
Состояния Фока не являются собственными функциями гамильтониана в общем случае
В формализме вторичного квантования плотность гамильтониана даётся выражением
- <math>\mathfrak{H} = \frac{1}{2m} \nabla_{i}\psi^{*}(x)\, \nabla_{i}\psi(x)</math>Шаблон:Sfn,
и общий гамильтониан записывается так:
- <math>\begin{align}
\mathcal{H} &= \int d^3 x\,\mathfrak{H}
= \int d^{3}x \psi^{*}(x)\left(-\frac{\nabla^2}{2m}\right)\psi(x) \\
\therefore \mathfrak{H} &= -\frac{\nabla^2}{2m}
\end{align}</math>
В свободной теории Шрёдингера (т. е. для не взаимодействующих частиц в нерелятивистском приближении)Шаблон:Sfn
- <math>\mathfrak{H}\psi_{n}^{(+)}(x) = -\frac{\nabla^2}{2m}\psi_{n}^{(+)}(x) = E_{n}^{0}\psi_{n}^{(+)}(x)</math>
и
- <math>\int d^3 x\, \psi_{n}^{(+)^{*}}(x)\, \psi_{n'}^{(+)}(x) = \delta_{nn'}</math>
и
- <math>\psi(x) = \sum_n a_n \psi_{n}^{(+)}(x)</math>,
где <math>a_n</math> — оператор уничтожения.
- <math>\therefore \mathcal{H} = \sum_{n,n'}\int d^{3}x\, a^{\dagger}_{n'}\psi_{n'}^{(+)^{*}}(x)\, \mathfrak{H}a_n \psi_{n}^{(+)}(x)</math>
Только для невзаимодействующих частиц <math>\mathfrak{H}</math> и <math>a_n</math> коммутируют; в общем случае они не коммутируют. Для невзаимодействующих частиц
- <math>\mathcal{H} =
\sum_{n,n'}\int d^3 x\, a^{\dagger}_{n'}\psi_{n'}^{(+)^{*}}(x)\, E^{0}_{n}\psi_{n}^{(+)}(x)a_n =
\sum_{n,n'}E^{0}_{n} a^{\dagger}_{n'}a_n\delta_{nn'} =
\sum_{n}E^{0}_{n}a^{\dagger}_n a_n =
\sum_{n}E^{0}_{n}\widehat{N}
</math>
Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь вышеуказанного выражения. Следовательно, в общем случае фоковские состояния не являются состояниями системы с определённым значением энергии.
Энергия состояний
Фоковские состояния являются собственными функциями гамильтониана поля <math>H = \hbar \omega(a^{\dagger}a+1/2)</math>:
- <math>H|n\rangle=E_n|n\rangle,</math>
где <math>E_n</math> — энергия соответствующего состояния <math>|n\rangle</math>.
При подстановке гамильтониана в приведённое выше выражение получим:
- <math>\hbar \omega\left(a^{\dagger}a + \frac{1}{2}\right)|n\rangle = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)|n\rangle</math>
Следовательно, энергия состояния <math>|n\rangle</math> равна <math>E_n = \hbar\omega\left(n+\frac{1}{2}\right)</math>, где <math>\omega</math> — частота поля.
Ещё раз отметим, что энергия нулевого (основного) состояния с <math>n = 0</math> отлична от нуля, и её называют нулевой энергией.
Вакуумные флуктуации
См. также Частота Раби
Вакуумное состояние, или <math>|0\rangle</math>, есть состояние с наименьшей энергией. Для него
- <math>a|0\rangle = 0 = \langle0|a^{\dagger}.</math>
Электрическое и магнитное поля и векторный потенциал имеют одинаковый вид:
- <math>F(\vec{r},t) = \varepsilon a e^{i((\vec{k}\cdot\vec{r})-\omega t)} + </math> <math>h.c.</math>
Легко заметить, что величина оператора поля этого состояния исчезает в вакуумном состоянии:
- <math>\langle0|F|0\rangle = 0.</math>
Однако можно показать, что квадрат оператора поля не равен нулю.
Вакуумные флуктуации ответственны за многие интересные явления в квантовой оптике, например, такие, как сдвиг Лэмба и сила Казимира.
Примечания
См. также
Ссылки
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
- Швебер С., Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, [пер. с англ. ], M., 1963.
- Хоружий С. С., Введение в алгебраическую квантовую теорию поля, М., 1986.
- Шаблон:Книга
