Русская Википедия:Соты (геометрия)

Соты — это заполнение пространства непересекающимися многогранниками, при котором не остаётся незаполненного пространства. Это обобщение математического понятия мозаика или паркет на любую размерность.

Соты обычно рассматриваются в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Их можно также построить в неевклидовых пространствах, например, гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу, что даст однородные соты в сферическом пространстве.

Файл:Wallpaper group-cmm-1.jpg

Можно заполнить пространство многоугольниками, которые не имеют общих вершин, например, с помощью кирпичной укладки. Такая укладка не является правильной мозаикой, поскольку углы лежат на сторонах соседнего многоугольника. Также и в правильных сотах, не должно быть рёбер или вершин, лежащих внутри (или частично на) грани. Заметим, что если мы интерпретируем каждый кирпич как шестиугольник, имеющий внутренний угол 180 градусов, мы можем принять такую укладку как правильную мозаику. Однако не все геометры принимают такие шестиугольники.

Классификация

Существует бесконечно много сот и они могут быть классифицированы лишь частично. Наиболее правильные мозаики получают наибольший интерес, хотя богатый и широкий набор других мозаик открывается вновь и вновь.

Простейшие соты формируются из слоёв призм, построенных из паркетов на плоскости. В частности, копии любого параллелепипеда могут заполнить пространство, при этом кубические соты являются специальным случаем, поскольку только они образуют правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Другим интересным примером служит Шаблон:Не переведено 5 и его обобщения, которые также образуют мозаику в пространстве.

Однородные трёхмерные соты

Трёхмерные однородные соты — это соты в трёхмерном пространстве, составленные из однородных многогранников имеющих одинаковые вершины (то есть группа изометрий трёхмерного пространства, сохраняющая мозаику, является транзитивной на вершинах). Существует 28 примеров выпуклых мозаик в трёхмерном евклидовом пространствеШаблон:Sfn, называемых также Шаблон:Не переведено 5.

Соты называются правильными, если группа изометрий, сохраняющая мозаику, действует транзитивно на флаги, где флаг — это вершина, лежащая на ребре, которое принадлежит грани (всё вместе). Любые правильные соты являются автоматически однородными. Однако существует всего один вид правильных сот в евклидовом трёхмерном пространстве — кубические соты. Двое сот являются квазиправильными (сделанными из двух типов правильных ячеек):

Тип	Кубические соты	Квазиправильные соты
Ячейки	Кубические	Октаэдральные и тетраэдральные
Слой	Файл:Cubic semicheck.png	Файл:Tetroctahedric semicheck.png

Шаблон:Не переведено 5 и Шаблон:Не переведено 5 состоят из слоёв, образованных 3-я или 2-я положениями тетраэдров и октаэдров. Бесконечное число уникальных сот можно получить путём разного чередования этих слоёв.

Заполняющие пространство многогранники

О трёхмерных сотах, имеющих все ячейки идентичными, включая симметрию, говорят как о Шаблон:Не переведено 5 или изохорных. Об ячейке таких сот говорят как о заполняющих пространство многогранниках^[1].

Только пять заполняющих пространство многогранников могут заполнить 3-мерное евклидово пространство с использованием только параллельного переноса. Их называют параллелогранниками:

Кубические соты (или вариации: прямоугольный параллелепипед, ромбический шестигранник или параллелепипед);
Шестиугольные призматические соты^[2];
Шаблон:Не переведено 5;
Шаблон:Не переведено 5^[3];
Шаблон:Не переведено 5^[4].

Куб (параллелепипед)	Шестиугольная призма	Ромбододекаэдр	Шаблон:Не переведено 5	Усечённый октаэдр
Файл:Rhombohedral prism honeycomb.png Кубические соты	Файл:Skew hexagonal prism honeycomb.png Шаблон:Не переведено 5	Файл:Rhombic dodecahedra.png Шаблон:Не переведено 5	Файл:Elongated rhombic dodecahedron honeycomb.png Шаблон:Не переведено 5	Файл:Truncated octahedra.png Шаблон:Не переведено 5
Файл:Parallelohedron edges cube.png	Файл:Parallelohedron edges hexagonal prism.png	Файл:Parallelohedron edges rhombic dodecahedron.png	Файл:Parallelohedron edges elongated rhombic dodecahedron.png	Файл:Parallelohedron edge truncated octahedron.png
3 длины рёбер	3+1 длины рёбер	4 длины рёбер	4+1 длины рёбер	6 длины рёбер

Другие известные примеры:

Треугольные призматические соты.
Однородные повёрнутые треугольные призматические соты
Шаблон:Не переведено 5. Ячейки мозаики Вороного атомов углерода в алмазе имеют такой вид^[5].
Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Sfn.
Простые изоэдричечкие мозаикиШаблон:Sfn.

Другие соты с двумя и более многогранниками

Иногда два^[6] и более различных многогранника можно скомбинировать, чтобы заполнить пространство. Хорошо известным примером служит Шаблон:Не переведено 5, заимствованная из структуры кристаллов клатратного гидрата Шаблон:Sfn.

Файл:12-14-hedral honeycomb.png
Шаблон:Не переведено 5 (с двумя типами ячеек)

Невыпуклые трёхмерные соты

Документированные примеры редки. Можно различить два класса:

невыпуклые ячейки, упакованные без наложения, аналогично мозаикам из вогнутых многоугольников; они включают Шаблон:Не переведено 5 малые Шаблон:Не переведено 5 как в кубе Ёсимото;
мозаики с наложением ячеек, при котором положительные и отрицательные плотности «уничтожаются» с образованием однородного по плотности континуума, аналогично мозаикам с наложением на плоскости.

Файл:Hyperbolic orthogonal dodecahedral honeycomb.png

Додекаэдральные соты порядка 4 в гиперболическом пространстве

Гиперболические соты

В трёхмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от размера многогранника. Правильные гиперболические соты включают два вида с четырьмя или пятью додекаэдрами, имеющими общие рёбра. Их двугранные углы тогда будут π/2 и 2π/5, оба меньше, чем у евклидова додекаэдра. За исключением этого эффекта гиперболические соты удовлетворяют тем же ограничениям, что и евклидовы соты и многогранники.

Исследованы 4 вида компактных правильных гиперболических сот и много Шаблон:Не переведено 5.

Двойственность сот в трёхмерном пространстве

Для любых сот имеются двойственные соты, которые могут быть получены обменом:

ячеек на вершины.

граней на рёбра.

Для правильных сот:

Кубические соты самодвойственны.
Соты, состоящие из октаэдров и тетраэдров, дуальны сотам из ромбических додекаэдров.
Слоистые соты, полученные из однородных плоских мозаик, дуальны таким же, полученным из двойственных мозаик.
Двойственные соты к остальным архимедовым сотам являются ячейно-транзитивными и описаны в статье ИнчбальдаШаблон:Sfn.

Самодвойственные соты

Соты могут быть самодвойственными. Все n-мерные гиперкубические соты с символами Шлефли {4,3ⁿ⁻²,4} самодвойственны.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Glossary For Hyperspace
Five space-filling polyhedra, Guy Inchbald
The Archimedean honeycomb duals, Guy Inchbald, The Mathematical Gazette 80, November 1996, p.p. 466—475.
Raumfueller (Space filling polyhedra) by T.E. Dorozinski

Шаблон:Геометрические соты Шаблон:Геометрические мозаики Шаблон:Rq

↑ Шаблон:Mathworld
↑ [1] Шаблон:Wayback Однородные заполняющие пространство призмы на основе треугольника, квадрата и шестиугольника
↑ [2] Шаблон:Wayback Однородные заполняющие пространство ромбо-шестиугольные додекаэдры
↑ [3] Шаблон:Wayback Однородные заполняющие пространство усечённые октаэдры
↑ Voronoi Polyhedron
↑ Шаблон:Cite web Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy.

[1] Шаблон:Mathworld

[2] [1] Шаблон:Wayback Однородные заполняющие пространство призмы на основе треугольника, квадрата и шестиугольника

[3] [2] Шаблон:Wayback Однородные заполняющие пространство ромбо-шестиугольные додекаэдры

[4] [3] Шаблон:Wayback Однородные заполняющие пространство усечённые октаэдры

[5] Voronoi Polyhedron

[6] Шаблон:Cite web Gabbrielli, Ruggero. A thirteen-sided polyhedron which fills space with its chiral copy.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.