Русская Википедия:Спектральная плотность
Спектра́льная пло́тность — базирующееся на преобразовании Фурье представление зависящих от времени сигналов (как детерминированных, так и случайных процессов) в виде спектров. Используется в статистической радиотехнике и физике.
Если процесс <math>x(t)</math> имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:
Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия
Функция <math>S_x(f)=|X(f)|^2</math> характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.
Перейдём теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу <math>x(t)</math>, реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:
Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной <math>S_x(f)</math> определяет <math>k_x(\tau)</math>:
Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно <math>f=0</math> и <math>\tau=0</math>, имеем
Формула (6) с учётом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину <math>S_x(f)df</math> можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от <math>f-df/2</math> до <math>f+df/2</math>. Если понимать под <math>x(t)</math> случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина <math>S_x(f)</math> будет иметь размерность энергии [В2/Гц] = [В2с]. Поэтому <math>S_x(f)</math> иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: <math>\sigma_x^2</math> – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину <math>S_x(f)</math> называют спектром мощности случайного процесса.
Свойства спектральной плотности
- Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:
- Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и чётная функция частоты:
- Корреляционная функция <math>k_x(\tau)</math> и энергетический спектр <math>S_x(f)</math> стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр <math>S_x(f)</math> тем «уже» корреляционная функция <math>k_x(\tau)</math>, и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.
См. также
Литература
