Русская Википедия:Спектральная последовательность Гротендика
Спектральная последовательность Гротендика — это спектральная последовательность, которая вычисляет производные функторы композиции функторов <math> G\circ F</math> по производным функторам F и G.
Если <math>F :\mathcal{A}\to\mathcal{B}</math> и <math>G :\mathcal{B}\to\mathcal{C}</math> — аддитивные точные слева функторы между абелевыми категориями, такие, что <math>F</math> переводит инъективные объекты в <math>G</math>-ацикличные (то есть те, на которых зануляются функторы <math>R^pG</math> при <math>p>0</math>) и если в <math>\mathcal{B}</math> достаточно много инъективных объектов, то для каждого объекта <math>A</math> категории <math>\mathcal{A}</math>, имеющего инъективную резольвенту, существует точная последовательность:
- <math>E_2^{pq} = ({\rm R}^p G \circ{\rm R}^q F)(A) \Longrightarrow {\rm R}^{p+q} (G\circ F)(A).</math>
Многие спектральные последовательности в алгебраической геометрии являются частными случаями спектральной последовательности Гротендика, например, Шаблон:Нп5.
Примеры
Спектральная последовательность Лере
Если <math>X</math> и <math>Y</math> — топологические пространства, пусть
- <math>\mathcal{A} = \mathbf{Ab}(X)</math> и <math>\mathcal{B} = \mathbf{Ab}(Y)</math> — категории пучков абелевых групп на X и Y, соответственно и
- <math>\mathcal{C} = \mathbf{Ab}</math> — категория абелевых групп.
- <math>f : X \to Y</math>
существует (точный слева) функтор прямого образа
- <math>f_* : \mathbf{Ab}(X) \to \mathbf{Ab}(Y)</math>.
Мы также имеем функторы глобальных сечений
- <math>\Gamma_X : \mathbf{Ab}(X)\to \mathbf{Ab}</math>,
и
- <math>\Gamma_Y : \mathbf{Ab}(Y) \to \mathbf {Ab}.</math>
Тогда так как
- <math>\Gamma_Y \circ f_* = \Gamma_X</math>
и функторы <math> f_*</math> и <math>\Gamma_Y</math> удовлетворяют предположениям теоремы (так как функтор прямого образа имеет точный левый сопряжённый <math>f^{-1}</math>, прямые образы инъективных пучков инъективны и, в частности, ацикличны для функтора глобальных сечений), спектральная последовательность принимает вид:
- <math>H^p(Y,{\rm R}^q f_*\mathcal{F})\implies H^{p+q}(X,\mathcal{F})</math>
для пучка абелевых групп <math>\mathcal{F}</math> на <math>X</math>, и это в точности спектральная последовательность Лере.
Спектральная последовательность локальных и глобальных Ext-ов
Существует спектральная последовательность, связывающая глобальный Ext и пучковый Ext: пусть F, G — пучки модулей над окольцованным пространством <math>(X, \mathcal{O})</math>; например, схемой. Тогда
- <math>E^{p,q}_2 = \operatorname{H}^p(X; \mathcal{E}xt^q_{\mathcal{O}}(F, G)) \Rightarrow \operatorname{Ext}^{p+q}_{\mathcal{O}}(F, G).</math>[1]
Это частный случай спектральной последоватеьлности Гротендика: действительно,
- <math>R^p \Gamma(X, -) = \operatorname{H}^p(X, -)</math>, <math>R^q \mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(F, -) = \mathcal{E}xt^q_{\mathcal{O}}(F, -)</math> и <math>R^n \Gamma(X, \mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(F, -)) = \operatorname{Ext}^n_{\mathcal{O}}(F, -)</math>.
Более того, <math>\mathcal{H}om_{\mathcal{O}}(F, -)</math> переводит инъективные <math>\mathcal{O}</math>-модули в вялые пучки,[2] которые <math>\Gamma(X, -)</math>-ацикличны. Следовательно, предположения удовлетворяются.
Примечания
Литература
- Шаблон:Книга
- Шаблон:Citation
- Weibel, Charles A. An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55987-4.
