Русская Википедия:Спектральная теорема
Спектральная теорема — класс теорем о матрицах линейных операторов, дающих условия, при которых такие матрицы могут быть диагонализированы, то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе. Эти теоремы позволяют свести вычисления, включающие диагонализируемые матрицы к гораздо более простым вычислениям, использующим соответствующие диагональные матрицы.
Понятие диагонализации, достаточно простое для случая конечномерных векторных пространств, требует некоторых уточнений при переходе к бесконечномерным векторным пространствам. Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться так называемыми Шаблон:Iw — то есть операторами вида <math>\phi\mapsto f\phi</math> для фиксированной функции <math>f</math>. Более абстрактно, спектральная теорема является утверждением о коммутативных <math>C^*</math>-алгебрах.
Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах.
Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.
Конечномерный случай
Спектральная теорема для Эрмитовых матриц
Шаблон:Начало скрытого блока Лемма 1: для любых векторов <math>\mathbf{y} \in V</math> и <math>\mathbf{z} \in V</math> верно:
- <math>(A\mathbf{y}, \mathbf{z}) = (\mathbf{y}, A\mathbf{z})</math>
Доказательство леммы 1:
По определению:
- <math>A=A^*</math>
Следовательно:
- <math>(A\mathbf{y}, \mathbf{z})
= (Ay)^*z = y^*Az = (y, Az)
</math>
Доказательство утверждения 1. Докажем, что все собственные значения матрицы <math>A</math> вещественны.
Рассмотрим <math>\lambda</math> - собственное значение матрицы <math>A</math>.
Тогда, по определению собственного значения, существует вектор <math>(\mathbf{x} \in V) \neq 0</math>, для которого <math>A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}</math>.
Скалярно умножим обе части этого равенства на <math>\mathbf{x}</math>:
- <math>(A\mathbf{x}, \mathbf{x}) = (\lambda \mathbf{x}, \mathbf{x})</math>
По определению скалярного произведения:
- <math>(\lambda \mathbf{x}, \mathbf{x})
= \overline{(\mathbf{x}, \lambda \mathbf{x})}
= \overline{\lambda}(\mathbf{x}, \mathbf{x})
\qquad (1)</math>
С другой стороны, применяя лемму 1 к <math>\mathbf{y} = \mathbf{z} = \mathbf{x}</math>, получаем:
- <math>(A \mathbf{x}, \mathbf{x})
= (\mathbf{x}, A \mathbf{x})
= (\mathbf{x}, \lambda \mathbf{x})
= \lambda (\mathbf{x}, \mathbf{x})
\qquad (2)</math>
Из равенств <math>(1)</math> и <math>(2)</math> следует:
- <math> \overline{\lambda}(\mathbf{x}, \mathbf{x})
= \lambda (\mathbf{x}, \mathbf{x})
</math>
Поскольку для любого <math>(\mathbf{x} \in V) \neq 0</math> верно <math>(\mathbf{x}, \mathbf{x}) \neq 0</math>, то:
- <math>\overline{\lambda} = \lambda</math>
что означает <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>.
Доказательство утверждения 2. Докажем, что собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Рассмотрим два различных собственных значения <math>\lambda \neq \mu</math>. Тогда:
- <math>A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x},\quad
A\mathbf{y} = \mu\mathbf{y}
</math> где <math>\mathbf{x}</math> и <math>\mathbf{y}</math> - собственные вектора.
Умножим первое равенство на <math>\mathbf{y}</math>, а также применим лемму 1 и доказанный выше факт, что собственные значения вещественны, <math>\lambda \in \mathbb{R}</math>. В результате получим:
- <math>\lambda(\mathbf{x}, \mathbf{y})
= (\lambda \mathbf{x}, \mathbf{y})
= (A \mathbf{x}, \mathbf{y})
= (\mathbf{x}, A\mathbf{y})
= (\mathbf{x}, \mu \mathbf{y})
= \mu (\mathbf{x}, \mathbf{y})
</math>
Исходя из <math>\lambda \neq \mu</math> получаем, что <math>(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0</math>, то есть иными словами - вектора <math>\mathbf{x}</math> и <math>\mathbf{y}</math> ортогональны.
Доказательство утверждения 3. Докажем что собственные вектора образуют базис для всего пространства <math>V</math>
Пусть <math>\lambda_{1}</math>, собственное значение матрицы <math>A</math>, и соответствующий ему собственный вектор <math>\mathbf{x_{1}}</math>.
Рассмотрим <math>V_{1}</math> - множество всех векторов из <math>V</math>, ортогональных <math>\mathbf{x_{1}}</math>.
Поскольку для любого <math>\mathbf{x} \in V_{1}</math> верно что <math>(\mathbf{x_{1}}, \mathbf{x}) = 0</math>, то согласно лемме 1:
- <math>(\mathbf{x_{1}}, A\mathbf{x})
= (A\mathbf{x_{1}}, \mathbf{x})
= \lambda_{1}(\mathbf{x_{1}}, \mathbf{x})
= 0
</math>
Следовательно, <math>\mathbf{Ax} \in V_{1}</math>.
Линейный оператор <math>L(\mathbf{x}) = Ax</math>, будучи ограниченным множеством <math>V_{1}</math>, также является эрмитовым, имеет собственное значение <math>\lambda_{2}</math> и соответствующий собственный вектор <math>\mathbf{x_2}</math>.
По определению <math>\mathbf{x}_{2}</math> ортогонален <math>\mathbf{x}_{1}</math>.
Рассмотрим множество <math>V_{2}</math> - множество векторов, ортогональных одновременно <math>\mathbf{x}_{1}</math> и <math>\mathbf{x}_{2}</math>. Аналогичным образом линейный оператор <math>L(\mathbf{x}) = Ax</math> отображает <math>V_{2}</math> на себя.
Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность <math>\lambda_{k}</math>, <math>\mathbf{x}_k</math>, а также подпространства <math>V_{k}</math>, содержащие <math>\mathbf{x}_{k}</math> и при этом ортогональные векторам <math>\mathbf{x}_{1}, ..., \mathbf{x}_{k-1}</math>. Последовательность завершится на шаге <math>n</math>, поскольку <math>\dim V_{k} = n - k</math>.
Таким образом собственные вектора <math>\mathbf{x}_{1}, ..., \mathbf{x}_{n}</math> образуют ортогональный базис для всего пространства <math>V</math>
Шаблон:QED Шаблон:Конец скрытого блока
Спектральная теорема для унитарных матриц
Лемма 2: Для унитарной матрицы <math>U</math> верно:
- <math>(U\mathbf{x}, U\mathbf{y}) = (\mathbf{x}, \mathbf{y})</math>
где <math>\mathbf{x}</math> и <math>\mathbf{y}</math> - произвольные вектора из <math>V</math>
Доказательство леммы 2:
- <math>(U\mathbf{x}, U\mathbf{y})
= (U\mathbf{x})^{*} U\mathbf{y}
= x^{*} U^{*} U y
= x^{*} y
= (x, y)
</math>
Доказательство утверждения 1: Все собственные значения матрицы <math>A</math> имеют абсолютные величины, равные <math>1</math>.
Рассмотрим <math>\lambda</math> - собственное значение матрицы <math>A</math>.
Тогда, по определению собственного значения, существует вектор <math>(\mathbf{x} \in V) \neq 0</math>, для которого:
- <math>A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}</math>.
Применяя лемму 2 получаем:
- <math>(\mathbf{x}, \mathbf{x}) = (A\mathbf{x}, A\mathbf{x}) = \overline{\lambda}\lambda(\mathbf{x}, \mathbf{x})</math>
Поскольку <math>\mathbf{x} \neq 0</math>, то <math>(\mathbf{x}, \mathbf{x}) \neq 0</math>, а следовательно:
- <math>\overline{\lambda}\lambda = |\lambda|^2 = 1</math>
Доказательство утверждения 2: Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Рассмотрим два различных собственных значения <math>\lambda \neq \mu</math>. Тогда:
- <math>A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x},\quad
A\mathbf{y} = \mu\mathbf{y}
</math> где <math>\mathbf{x}</math> и <math>\mathbf{y}</math> - собственные вектора.
Перемножим эти два уравнения:
- <math>(\mathbf{x}, \mathbf{y})
= (A\mathbf{x}, A\mathbf{y})
= \overline{\lambda}\mu(\mathbf{x}, \mathbf{y})
</math>
Как было показано выше, <math>|\lambda| = 1</math>. Следовательно <math>\overline{\lambda} = \lambda^{-1}</math>, откуда:
- <math>(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mu \lambda^{-1} (\mathbf{x}, \mathbf{y})</math>
Поскольку выше было сделано предположение, что <math>\lambda \neq \mu</math>, то получаем:
- <math>(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0</math>
То есть вектора <math>\mathbf{x}</math> и <math>\mathbf{y}</math> ортогональны.
Доказательство утверждения 3: Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства <math>V</math>.
Пусть <math>\lambda_{1}</math>, собственное значение матрицы <math>A</math>, и соответствующий ему собственный вектор <math>\mathbf{x_{1}}</math>.
Рассмотрим <math>V_{1}</math> - множество всех векторов из <math>V</math>, ортогональных <math>\mathbf{x_{1}}</math>.
Докажем, что для любого вектора <math>\mathbf{x} \in V_{1}</math> верно <math>A\mathbf{x} \in V_{1}</math>.
Из леммы 2 следует, что <math>A^{*} = A^{-1}</math>. Используя этот факт, получаем:
- <math>(A\mathbf{x}, \mathbf{x}_{1})
= (x, A^*\mathbf{x}_{1})
= (x, A^{-1}\mathbf{x}_{1})
= \lambda^{-1}(\mathbf{x_{1}}, \mathbf{x})
= 0</math>
Таким образом <math>V_{1}</math> является собственным подпространством размерности <math>\dim V - 1</math> пространства <math>V</math>.
Поскольку линейный оператор <math>L(\mathbf{x}) = Ax</math>, будучи ограниченным множеством <math>V_{1}</math>, также является эрмитовым, имеет собственное значение <math>\lambda_{2}</math> и соответствующий собственный вектор <math>\mathbf{x_2}</math>.
Продолжая подобным образом мы можем найти последовательность <math>\lambda_{k}</math>, <math>\mathbf{x}_k</math>, а также подпространства <math>V_{k}</math>, содержащие <math>\mathbf{x}_{k}</math> и при этом ортогональные векторам <math>\mathbf{x}_{1}, ..., \mathbf{x}_{k-1}</math>. Последовательность завершится на шаге <math>n</math>, поскольку <math>\dim V_{k} = n - k</math>.
Таким образом собственные вектора <math>\mathbf{x}_{1}, ..., \mathbf{x}_{n}</math> образуют ортогональный базис для всего пространства <math>V</math>
Шаблон:QED Шаблон:Конец скрытого блока
Нормальные матрицы
Спектральная теорема может быть распространена на несколько более широкий класс матриц. Пусть <math>A</math> является оператором на конечномерном пространстве со скалярным произведением. <math>A</math> называют нормальным, если <math>A A^* = A^* A</math>. Можно доказать, что <math>A</math> является нормальным тогда и только тогда, когда он является унитарно диагонализируемым. В самом деле, в соответствии с разложением Шура мы имеем <math>A = U T U^*</math>, где <math>U</math> является унитарным оператором, а <math>T</math> — верхнетреугольным. Поскольку <math>A</math> является нормальным, то <math>T T^* = T^* T</math>. Следовательно, <math>T</math> является диагональным. Обратное не менее очевидно.
Другими словами, <math>A</math> является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица <math>U</math> такая, что <math>A = U \Lambda U^*</math>, где <math>\Lambda</math> является диагональной матрицей. При этом диагональные элементы матрицы Λ являются собственными значениями <math>A,</math> а векторы-столбцы матрицы <math>U</math> являются собственными векторами <math>A</math> (они, конечно, имеют единичную длину и попарно ортогональны). В отличие от эрмитова случая элементы матрицы <math>\Lambda</math> не обязательно вещественны.
Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторов
В бесконечномерных гильбертовых пространствах утверждение спектральной теоремы для компактных самосопряжённых операторов выглядит в сущности также как в конечномерном случае.
Шаблон:Рамка
Теорема
Пусть <math>A</math> является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве <math>V</math>. Существует ортонормированный базис пространства <math>V</math>, состоящий из собственных векторов оператора <math>A</math>. При этом все собственные значения вещественны.
Шаблон:Конец рамки
Так же как и в случае эрмитовых матриц ключевым моментом является доказательство существования хоть одного собственного вектора. В бесконечномерном случае невозможно использовать определители для доказательства существования собственных векторов, но можно использовать соображения максимизации, аналогичные вариационной характеризации собственных значений. Приведённая выше спектральная теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных гильбертовых пространств.
Без предположения о компактности становится неверным утверждение о том, что всякий самосопряжённый оператор имеет собственный вектор.
Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов
Следующее обобщение, которое мы рассмотрим, касается ограниченных самосопряжённых операторов в гильбертовых пространствах. Такие операторы могут не иметь собственных значений (например, таков оператор <math>A</math> умножения на независимую переменную в пространстве <math>L^2[0,1]</math>, то есть <math>\left[ A \phi \right] (t) = t \phi(t)</math>.
Шаблон:Рамка
Теорема
Пусть <math>A</math> является ограниченным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве <math>H</math>. Тогда существует пространство с мерой <math>\left(X, \Sigma, \mu \right)</math>, вещественнозначная измеримая функция <math>f</math> на <math>X</math> и унитарный оператор <math>U : H \rightarrow L^2_{\mu}(X)</math> такие, что <math>U^* T U = A</math>, где <math>T</math> является Шаблон:Iw, то есть
<math>\left[ T \phi \right] (x) = f(x) \phi (x)</math>.
Шаблон:Конец рамки
С этой теоремы начинается обширная область исследований по функциональному анализу, называемая теорией операторов.
Аналогичная спектральная теорема справедлива для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница состоит в том, что теперь <math>f</math> может быть комплекснозначной.
Альтернативная формулировка спектральной теоремы позволяет записать оператор <math>A</math> как интеграл, взятый по спектру оператора, от координатной функции по Шаблон:Iw. В случае когда рассматриваемый нормальный оператор является компактным, эта версия спектральной теоремы сводится к приведённой выше конечномерной спектральной теореме (с той оговоркой, что теперь линейная комбинация может содержать бесконечно много проекторов).
Спектральная теорема для общих самосопряжённых операторов
Многие важные линейные операторы, возникающие в математическом анализе, не являются ограниченными. Например, таковы дифференциальные операторы. Имеется спектральная теорема для самосопряжённых операторов, которая работает для неограниченных операторов. Например, любой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения (соответствующим унитарным оператором является преобразование Фурье, а соответствующий оператор умножения называют Шаблон:Iw).
Литература
- Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, Springer Verlag, 1997
- А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани, Теоремы и задачи функционального анализа, М.: Наука, 1979
- Paul Halmos, «What Does the Spectral Theorem Say?», American Mathematical Monthly, 70, no. 3 (1963), 241—247
Примечания
