Русская Википедия:Спектр оператора
Шаблон:Значения Спектр оператора — множество чисел, характеризующее линейный оператор. Применяется в линейной алгебре, функциональном анализе и квантовой механике.
Конечномерный случай
Пусть A — оператор, действующий в конечномерном линейном пространстве E. Спектром оператора (обычно обозначается <math>\sigma(A)</math>) называется множество его собственных значений.
Квадратную матрицу порядка <math>n</math> можно рассматривать как линейный оператор в n-мерном пространстве, что позволяет перенести на матрицы «операторные» термины. В этом случае говорят о спектре матрицы.
Общее определение
Пусть A — оператор, действующий в банаховом пространстве E над <math>\mathbb C</math>. Число λ называется регулярным для оператора A, если оператор <math>R(\lambda)=(A - \lambda I)^{-1}</math>, называемый резольвентой оператора A, определён на всём E и непрерывен. Множество регулярных значений оператора A называется резольвентным множеством этого оператора, а дополнение резольвентного множества — спектром этого оператора <math>\sigma(A)</math>. Спектр ограниченного оператора представляет собой компакт в <math>\mathbb C</math> или является пустым. Спектр линейного ограниченного оператора непуст.
Внутри спектра оператора можно выделять части, не одинаковые по своим свойствам. Одной из основных классификаций спектра является следующая:
- дискретным (точечным) спектром <math>\sigma_p(A)</math> называется множество таких <math>\lambda</math>, при которых оператор <math>A - \lambda I</math> не инъективен. Дискретный спектр является множеством всех собственных значений оператора A; в конечномерном случае присутствует только точечный спектр;
- непрерывным спектром <math>\sigma_c(A)</math> называется множество значений <math>\lambda</math>, при которых резольвента <math>(A - \lambda I)^{-1}</math> определена на всюду плотном множестве в E, но не является непрерывной (то есть оператор <math>A - \lambda I</math> инъективен, но не сюръективен, а его образ всюду плотен);
- остаточным спектром <math>\sigma_r(A)</math> называется множество точек спектра, не входящих ни в дискретную, ни в непрерывную части (то есть оператор <math>A - \lambda I</math> инъективен, не сюръективен, причем его образ не является всюду плотным).
Максимум модулей точек спектра оператора A называется спектральным радиусом этого оператора и обозначается через <math>r(A)</math>. При этом выполняется равенство <math>r(A) = \lim_{n \to \infty} \|A^n\|^{1/n}</math>.
В комплексном случае резольвента является голоморфной операторнозначной функцией на резольвентном множестве. В частности, при <math>\lambda>r(A)</math> она может быть разложена в ряд Лорана с центром в точке <math>z=0</math>.
Разность двух максимальных по абсолютной величине значений из спектра называется спектральной щелью (Шаблон:Lang-en).
В квантовой механике
Спектр самосопряжённых операторов играет важную роль в квантовой механике, определяя множество возможных значений наблюдаемой при измерении. В частности, спектр гамильтониана определяет допустимые уровни энергии квантовой системы.
Непрерывный спектр в квантовой механике
Непрерывный спектр — это спектр значений физической величины, в котором в отличие от дискретного спектра значение этой величины определено для каждого собственного состояния системы, причем бесконечно малое изменение состояния системы приводит к бесконечно малому изменению физической величины. В качестве физической величины могут выступать: координата, импульс, энергия, орбитальный момент движения и т. д. Так как произвольная волновая функция <math> \Psi </math> может быть разложена в ряд по собственным функциям величины с дискретным спектром, то она может быть также разложена и в интеграл по полной системе собственных функций величины с непрерывным спектром.
См. также
Литература
