Русская Википедия:Спектр сигнала
Шаблон:Значения Шаблон:Нет иллюстраций Спектр сигнала — коэффициенты разложения сигнала в базисе ортогональных функций[1]. Называют также спектральным образом сигнала. Само разложение называют спектральным разложением сигнала. В радиотехнике для разложения обычно используются классическое преобразование Фурье; также применяют разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др[1][2][3][4].
Базисные функции
Шаблон:Основная статья Базисная функция — функция, которая является элементом базиса в функциональном пространстве. В радиотехнике обычно осуществляют гармонический анализ сигнала, в качестве базисных функций используя синусоидальные функции. Это объясняется рядом обстоятельств:
- функции <math>\cos(\omega t)</math>, <math>\sin(\omega t)</math> являются простыми и определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;
- гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;
- для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа;
- гармоническое колебание легко реализуемо на практике.
Обобщённый спектрально-аналитический метод предусматривает использование кроме гармонического ряда Фурье также и другие виды спектральных разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышёва и др.[3]
В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.
Применение
Разложение сигнала в спектр применяется в анализе прохождения сигналов через электрические цепи (спектральный метод). Спектр периодического сигнала является дискретным и представляет набор гармонических колебаний, в сумме составляющий исходный сигнал. Одним из преимуществ разложения сигнала в спектр является следующее: сигнал, проходя по цепи, претерпевает изменения (усиление, задержка, модулирование, детектирование, изменение фазы, ограничение и т. д.). Токи и напряжения в цепи под действием сигнала описываются дифференциальными уравнениями, соответствующими элементам цепи и способу их соединения. Линейные цепи описываются линейными дифференциальными уравнениями, причём для линейных цепей верен принцип суперпозиции: действие на систему сложного сигнала, который состоит из суммы простых сигналов, равно сумме действий от каждого составляющего сигнала в отдельности. Это позволяет при известной реакции системы на какой-либо простой сигнал, например, на синусоидальное колебание с определённой частотой, определить реакцию системы на любой сложный сигнал, разложив его в ряд по синусоидальным колебаниям.
На практике спектр измеряют при помощи специальных приборов: анализаторов спектра.
Математическое представление
Спектр периодического сигнала <math>s(t)</math> имеет вид:
<math>C_n = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} s(t) e^{-i n\omega_1 t} dt</math>, где <math>T</math> — период сигнала <math>s(t)</math>, <math>\omega_1=2\pi/T</math>, <math>n</math> — целое[1].
Спектр непериодического сигнала <math>s(t)</math> можно записать через преобразование Фурье (можно без коэффициента <math>1/{\sqrt{2\pi}}</math>) в виде:
<math>S(\omega) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} s(t) e^{-i\omega t} dt</math>, где <math>\omega</math> — угловая частота, равная <math>2\pi f</math>.
Спектр сигнала является комплексной величиной и представляется в виде: <math>S(\omega)=A(\omega)e^{-i\phi(\omega)}</math>, где <math>A(\omega)</math> — амплитудный спектр сигнала, <math>\phi(\omega)</math> — фазовый спектр сигнала.
Если под сигналом <math>s(t)</math> понимать электрическое напряжение на резисторе сопротивлением 1 Ом, то энергия сигнала, выделяемая на этом резисторе на интервале времени <math>(0, \ T)</math>, будет равна <math>E=\int\limits_{0}^{T} s^2(t) dt</math>, средняя мощность — <math>W = \frac{1}{T}\int\limits_{0}^{T} s^2(t) dt</math>.
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокb-Gonorovsky-1977ruне указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокb-Baskakov-2003ruне указан текст - ↑ 3,0 3,1 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокb-Dedus-1999ruне указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>; для сносокb-Goldне указан текст
