Русская Википедия:Спинор
Спино́р (Шаблон:Lang-en — вращаться) — специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства.
Суть спинорного описания пространства V — построение вспомогательного комплексного линейного пространства S, так чтобы V вкладывалось в <math>S \otimes S^*</math> (в тензорное произведение пространства S на комплексно-сопряжённое к себе).
Элементы пространства S и называются «спинорами»; зачастую (хотя и не обязательно) у них отсутствует какой-либо прямой геометрический смысл.
Однако на спинорах можно «почти» определить действие группы вращений, а именно: вращение действует на спинор с точностью до неопределённого комплексного множителя, равного по модулю 1 (в простых случаях, с точностью до ±1).Спиноры можно представить в виде обыкновенных комплексных векторов, но в пространстве с антисимметричной метрикой, например:
- <math>g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math>.
Индексы спиноров бывают пунктирные и непунктирные, так как по некоторым индексам спинор преобразуется как комплексно сопряжённый.
Если исходное пространство V рассматривалось над полем вещественных чисел <math>\mathbb R</math>, то вектора из V будут описаны в S эрмитовыми матрицами.
Математически строгое обоснование такого построения делается с помощью алгебры Клиффорда, построенной по изучаемому пространству V.
Спиноры впервые были рассмотрены в математике Э. Картаном в 1913 году. Они были вновь открыты в 1929 году Б. ван дер Варденом в связи с исследованиями по квантовой механике.
Определение
Спинором первого ранга называется вектор <math>a=(a_{1}, a_{2})</math> в двумерном комплексном пространстве, преобразующийся по формулам:
- <math>a_{1}^{'}=\alpha_{11}a_{1}+\alpha_{12}a_{2}</math>,
- <math>a_{2}^{'}=\alpha_{21}a_{1}+\alpha_{22}a_{2}</math>,
с детерминантом преобразования, равным единице:
- <math>\begin{vmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{12} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} \end{vmatrix} = 1</math>.
Спинор <math>a</math> также обозначается как <math>a_{k}, (k=1, 2)</math>.
Коэффициенты <math>\alpha_{rs}, (r=1,2; s=1,2)</math> являются комплексными числами.
Для каждого спинора существует коспинор <math>b=(b_{\dot 1}, b_{\dot 2})</math> в двумерном комплексном пространстве, преобразующийся по формулам:
- <math>b_{\dot 1}^{'}=\bar{\alpha_{11}}b_{\dot 1}+\bar{\alpha_{12}}b_{\dot 2}</math>,
- <math>b_{\dot 2}^{'}=\bar{\alpha_{21}}b_{\dot 1}+\bar{\alpha_{22}}b_{\dot 2}</math>,
где чёрточками отмечены комплексно-сопряжённые величины. Индексы у коспиноров помечаются точками.[1]
Спинорами высших рангов называются величины, которые преобразуются как произведения спиноров первого ранга. Например, спинор второго ранга <math>a_{kl} (k, l = 1, 2)</math> преобразуется как произведение спиноров первого ранга <math>a_{k}b_{l}</math>. Смешанный спинор второго ранга <math>a_{\dot kl} (\dot k, l = 1, 2)</math> преобразуется как произведение спиноров первого ранга <math>a_{\dot k}b_{l}</math>.
В спинорной алгебре, как и в тензорной алгебре, справедливо правило суммирования по повторяющимся вверху и внизу индексам и существует метрический спинор второго ранга <math>e^{kl}</math> и определяемый следующим образом:
- <math>a^{k}=e^{kl}a_{l}</math>,
- <math>a_{k}=e_{kl}a^{l}</math>,
- <math>e_{kl}=e_{lk}=e_{\dot k \dot l}=e_{\dot l \dot k}=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>,
- <math>e^{kl}=e^{lk}=e^{\dot k \dot l}=e^{\dot l \dot k}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}</math>.
Свойства
Координаты спиноров и коспиноров связаны следующими соотношениями:
- <math>a^1=a_2</math>, <math>b^{\dot 1}=b_{\dot 2}</math>,
- <math>a^2=-a_1</math>, <math>b^{\dot 2}=-b_{\dot 1}</math>,
Абсолютная величина любого спинора нечётного ранга равна нулю:
- <math>a_{l}a^{l}=0</math>,
- <math>a_{lmn}a^{lmn}=0</math>,
- <math>a^{l}b_{l}c_{m}+a_{l}b_{m}c^{l}+a_{m}b^{l}c_{l}=0</math>[2].
С помощью спиноров вводятся дифференциальные операторы, инвариантные при бинарных преобразованиях.
Компонентам четырёхмерного градиента соответствуют операторы:
- <math>\partial_{1}^{1} = \partial_{\dot 2 1} = \frac{\partial}{\partial x^{1}} + i \frac{\partial}{\partial x^{2}}</math>,
- <math>-\partial_{2}^{\dot 2} = \partial_{\dot 1 2} = \frac{\partial}{\partial x^{1}} - i \frac{\partial}{\partial x^{2}}</math>,
- <math>-\partial_{1}^{\dot 2} = \partial_{\dot 1 \dot 1} = \frac{\partial}{\partial x^{3}} - \frac{\partial}{\partial x^{4}}</math>,
- <math>-\partial_{2}^{\dot 1} = \partial_{\dot 2 2} = \frac{\partial}{\partial x^{3}} + \frac{\partial}{\partial x^{4}}</math>[1].
Трёхмерное пространство
Для представления 3-мерного пространства в качестве Шаблон:Math необходимо взять 2-мерное комплексное пространство <math>S = {\mathbb C}^2.</math>
Векторы трёхмерного пространства будут соответствовать матрицам с нулевым следом.
Спиноры 3-мерного евклидова пространства обладают алгеброй, близкой к алгебрам скалярного и векторного произведений. Эта алгебра допускает удобное описание в терминах кватернионов Гамильтона. А именно, с каждым вектором Шаблон:Math из вещественных (или комплексных) чисел можно ассоциировать комплексную матрицу:
- <math>{\mathbf x}\rightarrow X = x_1\sigma_1+ x_2\sigma_2+x_3\sigma_3 = \left(\begin{matrix}x_3&x_1-ix_2\\x_1+ix_2&-x_3\end{matrix}\right),</math>
где <math> \sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix},\quad
\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix},\quad
\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix} </math> — матрицы Паули (они ассоциированы с базисными векторами Шаблон:Math).
Матрицы Шаблон:Math такой формы, ассоциированные с векторами Шаблон:Math, обладают следующими свойствами, внутренне связывающими их с геометрией 3-мерного пространства:
- Шаблон:Math.
- Шаблон:Math, где Шаблон:Math — единичная матрица.
- <math>\frac{1}{2}(XY+YX)=({\mathbf x}\cdot{\mathbf y})I.</math>
- <math>\frac{1}{2}(XY-YX)=iZ,</math> где Шаблон:Math — матрица, ассоциированная с векторным произведением Шаблон:Math.
- Если Шаблон:Math — единичный вектор, то Шаблон:Math — матрица, ассоциированная с вектором, получаемым из Шаблон:Math отражением в плоскости, ортогональной Шаблон:Math.
- Согласно линейной алгебре, любое вращение в 3-мерном пространстве представимо в виде двух отражений. (Сходно, любое меняющее направление ортогональное преобразование есть либо отражение, либо произведение трёх (вообще, нечётного числа) отражений.) Таким образом, если Шаблон:Math — вращение, представимое в виде двух последовательных отражений в плоскостях, перпендикулярных единичным векторам Шаблон:Math и Шаблон:Math, то матрица Шаблон:Math представляет вращение Шаблон:Math вектора Шаблон:Math.
Имея эффективный способ представления всей геометрии вращений 3-мерного пространства набором комплексных 2×2-матриц, естественно задаться вопросом, какую роль играют 2×1-матрицы, если вообще они играют какую-то роль. Временно назовём спинором вектор-столбец:
- <math>\xi=\left[\begin{matrix}\xi_1\\\xi_2\end{matrix}\right],</math>
с комплексными компонентами Шаблон:Math и Шаблон:Math. Очевидно, в пространстве спиноров действуют комплексные 2×2-матрицы. Более того, произведение двух отражений (для данной пары единичных векторов) определяет 2×2-матрицу, действие которой на эвклидовы векторы есть вращение, так что она вращает спиноры. Но здесь есть важное свойство — факторизация вращения не единственна. Ясно, что если Шаблон:Math есть представление вращения, то замена Шаблон:Math на Шаблон:Math даст то же самое вращение. На самом деле, можно легко показать, что это единственная возникающая неопределенность. Действие операции вращения на спинор всегда двузначно.
Пространство Минковского
Если к трём матрицам Паули добавить ещё и единичную матрицу (за номером 0), то мы получим спинорное представление пространства Минковского M:
- <math>X = \sigma_\mu x^\mu,\ \mu=0,\ 1,\ 2,\ 3.</math>
При этом светоподобные вектора (нулевой длины) будут отвечать вырожденным матрицам вида <math>\pm\bar\psi\otimes\psi</math>, где <math>\psi\in S</math>.
Соответствие между пространством Минковского и эрмитовыми матрицами 2×2: M≈Herm(2) будет взаимно-однозначным.
Спиноры в физике
Спиноры отнюдь не являются чисто абстрактным построением, никак не проявляющим себя по отношению к геометрии реальности. Многие встречающиеся в квантовой механике величины являются спинорами (см. спин, уравнение Дирака). При релятивистском рассмотрении используется изложенное выше спинорное представление пространства Минковского. Например, существует довольно простое спинорное представление уравнений Максвелла.
При малых скоростях используются 3-мерные спиноры.
См. также
Примечания
Литература
- Дирак П. Спиноры в гильбертовом пространстве / Пер. с англ. — М.: Мир, 1978. — 126 с.
- Желнорович В. А. Теория спиноров и её применение в физике и механике. — М.: Наука, 1982. — 272 с.
- Желнорович В. А. Теория спиноров и её применения. — М.: Август-Принт, 2001. — 400 с. — ISBN 5-94681-001-4
- Картан Э. Теория спиноров / Пер. с франц. — М.: ГИИЛ, 1947.
- Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Том 2 / Пер с англ. — М.: Мир, 1988. — 584 с.
- Рашевский П. К. Теория спиноров. — Изд. 2-е. — М.: КомКнига, 2006. — 112 с. — ISBN 5-484-00348-2
- Румер Ю. Б. Спинорный анализ. — М.-Л.: ОНТИ, 1936. — 104 с.
- Шаблон:Книга
Ссылки
- [bse.sci-lib.com/article105279.html «Спинорное исчисление»] в БСЭ.
- ↑ 1,0 1,1 Ван дер Верден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике, М., Едиториал УРСС, 2004, ISBN 5-354-00700-3
- ↑ Основные формулы физики, под ред. Д. Мензела, М., ИЛ, 1957