Русская Википедия:Спинорная группа

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

1. REDIRECT Spin

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над <math>V</math> (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида <math>q_1\cdot q_2\cdots q_{2n}</math>, где <math>q_i \in V</math> — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством <math>\R^n</math> обычно обозначается <math>\operatorname{Spin}(n)</math>. Существует короткая точная последовательность

<math>1\to\mathbb{Z}_2\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)\to 1</math>

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы <math>\operatorname{SO}(n)</math>. Гомоморфизм <math>\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)</math> может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение <math>R_q</math> относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы <math>q_1\cdot q_2\cdots q_{2n}</math> можно сопоставить композицию отражений

<math>R_{q_1,}\circ\cdots\circ R_{q_{2n}}</math>

которая принадлежит группе <math>\operatorname{SO}(n)</math>. Проективные представления накрываемой группы <math>\operatorname{SO}(n)</math> находятся при этом во взаимно-однозначном соответствии с представлениями её накрытия <math>\operatorname{Spin}(n)</math>.

Строение первых спинорных групп

<math> \operatorname{Spin}(1) \simeq \operatorname{O}(1) \simeq \Z_2 \simeq \mathbb{S}^0</math>

<math> \operatorname{Spin}(2) \simeq \operatorname{U}(1) \simeq \mathbb{S}^1</math>

<math> \operatorname{Spin}(3) \simeq \operatorname{Sp}(1) \simeq \operatorname{SU}(2) \simeq \mathbb{S}^3</math>

<math> \operatorname{Spin}(4) \simeq \operatorname{Sp}(1){\times}\operatorname{Sp}(1) \simeq \operatorname{SU}(2){\times}\operatorname{SU}(2) \simeq \mathbb{S}^3{\times}\mathbb{S}^3</math>

<math> \operatorname{Spin}(5) \simeq \operatorname{Sp}(2)</math>

<math> \operatorname{Spin}(6) \simeq \operatorname{SU}(4)</math>

Шаблон:Algebra-stub Шаблон:Нет ссылок