Русская Википедия:Список кристаллографических групп

Шаблон:Информационный список Кристаллографические группы, или фёдоровские группы — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества периодически расположенных точек в трёхмерном пространстве. Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.

Легенда к списку

Символ Германа — Могена

Шаблон:Main Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве. Символы решётки Браве передают её тип центрировки:

P — примитивная;
I — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки);
F — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
С, А или В — базоцентрированная (дополнительный узел в центре грани C, A или B). Решётки типов A и B называют также бокоцентрированными;
R — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали ячейки).

Классы

Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты следующие обозначения (здесь буква n заменяет натуральное число, а буква m обозначает именно саму букву m):

<math>n</math> — ось симметрии n-го порядка.
<math>\bar{n}</math> — инверсионная ось симметрии n-го порядка.
<math>m</math> — плоскость симметрии.
<math>nm</math> или <math>nmm</math> — ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё.
<math>\frac{n}{m}</math> — ось симметрии порядка n и плоскость симметрии, к ней перпендикулярная.
<math>n2</math> — ось симметрии порядка n и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
<math>n /mmm</math> — ось симметрии n-го порядка и плоскости параллельные и перпендикулярные к ней.
<math>\bar{n} m2</math> или <math>\bar{n} 2m</math> (n — чётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, <math>\tfrac{n}{2}</math> плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и <math>\tfrac{n}{2}</math> осей второго порядка, к ней перпендикулярных.
<math>\bar{n} m</math> (n — нечётное) — инверсионная ось симметрии n-го порядка, n плоскостей симметрии, проходящих вдоль неё, и n осей второго порядка, к ней перпендикулярных.

Символ Шёнфлиса

Шаблон:Main

С_n — циклические группы — группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, — обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси.

С_ni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i.
C_nv (от нем. vertikal — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной.
C_nh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.

S₂, S₄, S₆ (от нем. spiegel — зеркало) — группы с единственной зеркальной осью симметрии.

C_s — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.

D_n — является группой С_n с добавочными n осями симметрии второго порядка, перпендикулярными исходной оси.

D_nh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии.
D_nd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.

O, T — группы симметрии с несколькими осями высшего порядка — группы кубической сингонии. Обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии октаэдра, или буквой Т, если они содержат полный набор осей симметрии тетраэдра.

O_h и T_h — также содержат горизонтальную плоскость симметрии
T_d — также содержат диагональную плоскость симметрии

n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.

Список всех 230 групп

Шаблон:Anchor

Номер	Класс	Число групп	Символ Германа-Могена	Символ Шёнфлиса	Изображение
Триклинная система
1	<math>1</math>	1	<math>P1</math>	<math>C_1</math>
2	<math>\bar{1}</math>	1	<math>P\bar{1}</math>	<math>C_i</math>
Моноклинная система
3-5	<math>2</math>	3	<math>P2</math> <math>P2_1</math> <math>C2</math>	<math>C_2</math>	Файл:Da Vinci Vitruve Luc Viatour.jpg Внешне человек обладает <math>C_{s}</math> симметрией.
6-9	<math>m</math>	4	<math>Pm</math> <math>Pc</math> <math>Cm</math> <math>Cc</math>	<math>C_s</math>
10-15	<math>2/m</math>	6	<math>P2/m</math> <math>P2_1/m</math> <math>C2/m</math> <math>P2/c</math> <math>P2_1/c</math> <math>C2/c</math>	<math>C_{2h}</math>
Ромбическая система
16-24	<math>222</math>	9	<math>P222</math> <math>P222_1</math> <math>P2_12_12</math> <math>P2_12_12_1</math> <math>C222_1</math> <math>C222</math> <math>F222</math> <math>I222</math> <math>I2_12_12_1</math>	<math>D_{2}</math>	Файл:Spoorbaan houten dwarsliggers alphen aan den rijn.jpg Рельсы обладают <math>C_{2v}</math> симметрией.
25 - 46	<math>mm2</math>	22	<math>Pmm2</math> <math>Pmc2_{1}</math> <math>Pcc2</math> <math>Pma2</math> <math>Pca2_{1}</math> <math>Pnc2</math> <math>Pmn2_{1}</math> <math>Pba2</math> <math>Pna2_{1}</math> <math>Pnn2</math> <math>Cmm2</math> <math>Cmc2_{1}</math> <math>Ccc2</math> <math>Amm2</math> <math>Aem2</math> <math>Ama2</math> <math>Aea2</math> <math>Fmm2</math> <math>Fdd2</math> <math>Imm2</math> <math>Iba2</math> <math>Ima2</math>	<math>C_{2v}</math>
47-74	<math>mmm</math>	28	<math>Pmmm</math> <math>Pnnn</math> <math>Pccm</math> <math>Pban</math> <math>Pmma</math> <math>Pnna</math> <math>Pmna</math> <math>Pcca</math> <math>Pbam</math> <math>Pccn</math> <math>Pbcm</math> <math>Pnnm</math> <math>Pmmn</math> <math>Pbcn</math> <math>Pbca</math> <math>Pnma</math> <math>Cmcm</math> <math>Cmce</math> <math>Cmmm</math> <math>Cccm</math> <math>Cmme</math> <math>Ccce</math> <math>Fmmm</math> <math>Fddd</math> <math>Immm</math> <math>Ibam</math> <math>Ibca</math> <math>Imma</math>	<math> D_{2h}</math>
Тетрагональная система
75-80	<math>4</math>	6	<math>P4</math> <math>P4_{1}</math> <math>P4_{2}</math> <math>P4_{3}</math> <math>I4</math> <math>I4_{1}</math>	<math>C_{4}</math>	Файл:Oktaeder-Animation.gif <math>C_4</math> Симметрия.
81-82	<math>\bar{4}</math>	2	<math>P\bar{4}</math> <math>I\bar{4}</math>	<math>S_{4}</math>
83-88	<math>4/m</math>	6	<math>P4/m</math> <math>P4_{2}/m</math> <math>P4/n</math> <math>P4_{2}/n</math> <math>I4/m</math> <math>I4_{1}/a</math>	<math>C_{4h}</math>
89-98	<math>422</math>	10	<math>P422</math> <math>P42_{1}2</math> <math>P4_{1}22</math> <math>P4_{1}2_{1}2</math> <math>P4_{2}22</math> <math>P4_{2}2_{1}2</math> <math>P4_{3}22</math> <math>P4_{3}2_{1}2</math> <math>I422</math> <math>I4_{1}22</math>	<math>D_{4}</math>
99-110	<math>4mm</math>	12	<math>P4mm</math> <math>P4bm</math> <math>P4_{2}cm</math> <math>P4_{2}nm</math> <math>P4cc</math> <math>P4nc</math> <math>P4_{2}mc</math> <math>P4_{2}bc</math> <math>I4mm</math> <math>I4cm</math> <math>I4_{1}md</math> <math>I4_{1}cd</math>	<math>C_{4v}</math>
111-122	<math>\bar{4}2m</math>	12	<math>P\bar{4}2m</math> <math>P\bar{4}2c</math> <math>P\bar{4}2_{1}m</math> <math>P\bar{4}2_{1}c</math> <math>P\bar{4}m2</math> <math>P\bar{4}c2</math> <math>P\bar{4}b2</math> <math>P\bar{4}n2</math> <math>I\bar{4}m2</math> <math>I\bar{4}c2</math> <math>I\bar{4}2m</math> <math>I\bar{4}2d</math>	<math>D_{2d}</math>
123-142	<math>4/mmm</math>	20	<math>P4/mmm</math> <math>P4/mcc</math> <math>P4/nbm</math> <math>P4/nnc</math> <math>P4/mbm</math> <math>P4/mnc</math> <math>P4/nmm</math> <math>P4/ncc</math> <math>P4_{2}/mmc</math> <math>P4_{2}/mcm</math> <math>P4_{2}/nbc</math> <math>P4_{2}/nnm</math> <math>P4_{2}/mbc</math> <math>P4_{2}/mnm</math> <math>P4_{2}/nmc</math> <math>P4_{2}/ncm</math> <math>I4/mmm</math> <math>I4/mcm</math> <math>I4_{1}/amd</math> <math>I4_{1}/acd</math>	<math>D_{4h}</math>	Файл:Zirconcrystal-model.png Кристаллическая решётка циркона имеет <math>I4_1/amd</math> симметрию.
Тригональная система
143-146	<math>3</math>	4	<math>P3</math> <math>P3_{1}</math> <math>P3_{2}</math> <math>R3</math>	<math>C_{3}</math>	Файл:Ammonia-borane-3D-balls.png Молекула боразана обладает <math>C_{3v}</math> симметрией.
147-148	<math>\bar{3}</math>	2	<math>P\bar{3}</math> <math>R\bar{3}</math>	<math>C_{3i}</math>
149-155	<math>32</math>	7	<math>P312</math> <math>P321</math> <math>P3_{1}12</math> <math>P3_{1}21</math> <math>P3_{2}12</math> <math>P3_{2}21</math> <math>R32</math>	<math>D_{3}</math>
156-161	<math>3m</math>	6	<math>P3m1</math> <math>P31m</math> <math>P3c1</math> <math>P31c</math> <math>R3m</math> <math>R3c</math>	<math>C_{3v}</math>
162-167	<math>\bar{3}m</math>	6	<math>P\bar{3}1m</math> <math>P\bar{3}1c</math> <math>P\bar{3}m1</math> <math>P\bar{3}c1</math> <math>R\bar{3}m</math> <math>R\bar{3}c</math>	<math>D_{3d}</math>
Гексагональная система
168-173	<math>6</math>	6	<math>P6</math> <math>P6_{1}</math> <math>P6_{5}</math> <math>P6_{2}</math> <math>P6_{4}</math> <math>P6_{3}</math>	<math>C_{6}</math>	Файл:Mittelwand für Bienenwabe 81b.jpg Пчелиные соты обладают <math>C_{6h}</math> симметрией.
174	<math>\bar{6}</math>	1	<math>P\bar{6}</math>	<math>C_{3h}</math>
175-176	<math>6/m</math>	2	<math>P6/m</math> <math>P6_{3}/m</math>	<math>C_{6h}</math>
177-182	<math>622</math>	6	<math>P622</math> <math>P6_{1}22</math> <math>P6_{5}22</math> <math>P6_{2}22</math> <math>P6_{4}22</math> <math>P6_{3}22</math>	<math>D_{6}</math>	Файл:Nanotube 6 9-spheres.jpg Нанотрубка может обладать <math>D_{6h}</math> симметрией.
183-186	<math>6mm</math>	4	<math>P6mm</math> <math>P6cc</math> <math>P6_{3}cm</math> <math>P6_{3}mc</math>	<math>C_{6v}</math>
187-190	<math>\bar{6}m2</math>	4	<math>P\bar{6}m2</math> <math>P\bar{6}c2</math> <math>P\bar{6}2m</math> <math>P\bar{6}2c</math>	<math>D_{3h}</math>
191-194	<math>6/mmm</math>	4	<math>P6/mmm</math> <math>P6/mcc</math> <math>P6_{3}/mcm</math> <math>P6_{3}/mmc</math>	<math>D_{6h}</math>
Кубическая система
195-199	<math>23</math>	5	<math>P23</math> <math>F23</math> <math>I23</math> <math>P2_{1}3</math> <math>I2_{1}3</math>	<math>T</math>	Файл:Diamond Cubic-F lattice animation.gif Структура алмаза имеет <math>Fd\bar{3}m</math> симметрию.
200-206	<math>m\bar{3}</math>	7	<math>Pm\bar{3}</math> <math>Pn\bar{3}</math> <math>Fm\bar{3}</math> <math>Fd\bar{3}</math> <math>Im\bar{3}</math> <math>Pa\bar{3}</math> <math>Ia\bar{3}</math>	<math>T_h</math>
207-214	<math>432</math>	8	<math>P432</math> <math>P4_{2}32</math> <math>F432</math> <math>F4_{1}32</math> <math>I432</math> <math>P4_{3}32</math> <math>P4_{1}32</math> <math>I4_{1}32</math>	<math>O</math>
215-220	<math>\bar{4}3m</math>	6	<math>P\bar{4}3m</math> <math>F\bar{4}3m</math> <math>I\bar{4}3m</math> <math>P\bar{4}3n</math> <math>F\bar{4}3c</math> <math>I\bar{4}3d</math>	<math>T_{d}</math>
221-230	<math>m\bar{3}m</math>	10	<math>Pm\bar{3}m</math> <math>Pn\bar{3}n</math> <math>Pm\bar{3}n</math> <math>Pn\bar{3}m</math> <math>Fm\bar{3}m</math> <math>Fm\bar{3}c</math> <math>Fd\bar{3}m</math> <math>Fd\bar{3}c</math> <math>Im\bar{3}m</math> <math>Ia\bar{3}d</math>	<math>O_{h}</math>

В других размерностях

У периодических структур в одномерном пространстве есть всего два типа симметрии. Они могут быть проиллюстрированы последовательностями символов:

... *- *- *- *- *- *- *- ...
... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ..

Первая бесконечная последовательность симметрична только относительно трансляции (на три символа), вторая последовательность симметрична ещё и относительно отражения.

В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии периодических структур.

Количество групп симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.

Последующая классификация

Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.

Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.

Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.

См. также

Литература

Шаблон:Публикация

Ссылки

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Список кристаллографических групп

Содержание