Русская Википедия:Список матриц
Материал из Онлайн справочника
Перейти к навигацииПерейти к поиску
Здесь собраны наиболее важные классы матриц, используемые в математике, науке (в целом) и прикладной науке (в частности).
Под матрицей понимается прямоугольный массив чисел, называемых элементами. Матрицы имеют длинную историю исследований и приложений, что приводит к различным способам их классификации. Первая группа матриц удовлетворяет конкретным условиям и ограничениям на их элементы, включая постоянные матрицы. Важный пример матриц такого вида предоставляет единичная матрица:
- <math>
I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}.</math> Обозначается также буквой E. Другие способы классификации матриц связаны либо с их собственными значениями, либо с условиями в виде матричных уравнений (соотношений). Наконец, во многих областях (в физике и в химии) встречаются матрицы специального вида, которые применяются исключительно в этих областях.
Матрицы, определяемые условиями на элементы
Данный ниже список матриц определяется условиями, которые накладываются на элементы матриц. Многие из таких свойств оказываются применимыми только к квадратным матрицам. В квадратной матрице имеются две диагонали: главная диагональ (идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол) и побочная диагональ (идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол).
Матрицы общего вида
Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что условия на элементы матриц описываются в терминах структуры матрицы. Сюда относится взаимное расположение ненулевых элементов, а также свойства инвариантности относительно матричных преобразований.
| Название | Описание | Примечания, пояснения |
|---|---|---|
| Бинарная матрица | Матрица, состоящая из нулей и единиц. | Синонимы: булевская матрица, логическая матрица. |
| Матрица альтернанса | Матрица, элементы которой представляют собой значения функций в определённых точках. | <math>a_{i,j} = f_j(\alpha_i)</math> |
| Нулевая матрица | Матрица, полностью состоящая из нулей. | <math>a_{ij} = 0</math> |
| Антидиагональная матрица | Квадратная матрица, все элементы которой, лежащие вне побочной диагонали, равны нулю. | |
| Антиэрмитова матрица | Квадратная матрица с комплексными элементами, переходящая в себя с изменением знака при операции эрмитова сопряжения (то есть при комплексном сопряжении каждого элемента и последующем транспонировании матрицы), <math>A = -A^*.</math> | Синоним косо-эрмитовой матрицы. |
| Антисимметричная матрица | Синоним кососимметричной матрицы. | |
| [[|en]] (Arrowhead matrix) | Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой являются элементами первого столбца, первой строки или главной диагонали. | |
| [[|en]] (Band matrix) | Квадратная матрица, все ненулевые элементы которой примыкают к главной диагонали. | |
| [[|en]] (Bidiagonal matrix) | Матрица, все ненулевые элементы которой находятся на главной диагонали и на одной из под- или наддиагонали. | |
| Бисимметричная матрица | Квадратная матрица, симметричная как относительно главной диагонали, так и относительно побочной диагонали. | |
| Блочно-диагональная матрица | Блочная матрица, у которой имеются матрицы только на главной диагонали. | |
| Блочная матрица | Матрица, которая разбита на подматрицы, называемые блоками. | |
| [[|en]] (Block tridiagonal matrix) | Блочная матрица, чьи блоки организованы так же, как у трёхдиагональной матрицы. | |
| Булевская матрица | синоним для (0,1)-матрицы, бинарной матрицы и логической матрицы. | |
| Матрица Коши | Матрица, каждый элемент которой имеет вид <math>a_{ij}=1/(x_i+y_j),</math> где <math>x_i</math> и <math>y_j</math> — две инъективные последовательности | |
| Центросимметричная матрица | Матрица, симметричная относительно своего центра, то есть: <math>a_{ij} = a_{n - i + 1, n - j + 1}</math> | |
| Конференс-матрица | Квадратная матрица с нулевыми элементами на диагонали и элементами вида +1 и −1 вне диагонали, такая, что <math>C^T C</math> — единичная матрица. | |
| [[|en]] (Complex Hadamard matrix) | Матрица, все строки и столбцы которой попарно ортогональны друг другу, а сами элементы унимодулярны. | |
| Положительно полуопределенная матрица | Квадратная матрица с вещественными элементами такая, что квадратичная форма <math>x^T Ax</math> оказывается неотрицательной для каждого неотрицательного <math>x</math>. | <math>f(x)=x^TAx</math> |
| Диагонально доминирующая матрица | Матрица, элементы которой удовлетворяют указанному здесь условию: | a_{ii}| \geq \sum_{j\neq i} |a_{ij}| \quad\text{for all } i,</math> |
| Диагональная матрица | Матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю. | |
| [[|en]] (Elementary matrix) | Матрица, которая получается из единичной при помощи элементарных преобразований. | |
| [[|en]] (Equivalent matrix) | Матрица, которая получается из другой матрицы при помощи элементарных преобразований над строками или столбцами. | |
| Матрица Фробениуса | Матрица, которая получается из единичной при помощи сдвига и добавления нового столбца. | |
| Эрмитова матрица, эрмитово-самосопряжённая матрица | Квадратная матрица с комплексными элементами, переходящая в себя при операции эрмитова сопряжения (то есть при комплексном сопряжении каждого элемента и последующем транспонировании матрицы), <math>A = A^*.</math> | |
| Неотрицательная матрица | Матрица, все элементы которой неотрицательны. | |
| Матрица перестановки | Квадратная матрица, в которой в каждом столбце и в каждой строке стоит ровно одна единица, а остальные нули. Является матричным представлением перестановки. | |
| [[|en]] (Generalized permutation matrix) | Квадратная матрица с ровно одним ненулевым элементом в каждой строке и в каждом столбце. | |
| Персимметричная матрица | Матрица, симметричная относительно побочной диагонали: <math>a_{ij} = a_{n - j + 1, n - i + 1}.</math> | |
| Полиномиальная матрица | Матрица, все элементы которой суть полиномы. | |
| Положительная матрица | Матрица, все элементы которой положительны. | |
| Матрица кватернионов | Матрица, все элементы которой представляют собой кватернионы. | |
| [[|en]] (Sign matrix) | Матрица, все элементы которой равны 1, 0 или −1. | |
| [[|en]] (Signature matrix) | Матрица, все элементы которой равны либо 1, либо −1. | |
| Косоэрмитова матрица | Квадратная комплексная матрица, которая меняет знак при эрмитовом сопряжении. | То же, что и антиэрмитова матрица. |
| Кососимметричная матрица | Квадратная матрица, которая меняет знак при транспонировании, <math>a_{ij} = -a_{ji}.</math> | То же, что и антисимметричная матрица. |
| [[|en]] (Skyline matrix) | Ленточная матрица, реорганизованная таким образом, чтобы уменьшить занимаемое пространство. | |
| Разреженная матрица | Матрица, практически полностью состоящая из нулей. | Алгоритмы для разреженных матриц позволяют обрабатывать бо́льшие матрицы, чем для плотных |
| Матрица Сильвестра | Квадратная матрица, чьи элементы — это коэффициенты двух полиномов. | Матрица Сильвестра не вырождена тогда и только тогда, когда два полинома взаимно просты. |
| Симметричная матрица | Квадратная матрица, которая совпадает со своей транспонированной: <math>A=A^T</math> (<math>a_{i , j } = a_{j,i} </math>). | |
| Тёплицева матрица | Матрица, у которой на диагоналях стоят одни и те же элементы. | |
| Треугольная матрица | Матрица, у которой все элементы выше главной диагонали нулевые (нижнетреугольная матрица), или матрица, у которой все элементы ниже главной диагонали нулевые (верхнетреугольная матрица). | |
| Трёхдиагональная матрица | Матрица, у которой все ненулевые элементы располагаются на трёх диагоналях: главной, первой сверху и первой снизу. | |
| Унитарная матрица | Квадратная комплексная матрица, обращение которой даёт эрмитово-сопряжённую матрицу, <math>A^{-1}=A^*.</math> | |
| Специальная унитарная матрица | Унитарная матрица, определитель которой равен единице | |
| Матрица Вандермонда | Матрица, строки (или столбцы) которой представляют собой последовательные степени: 1, Шаблон:Math, Шаблон:Math, Шаблон:Math, …, Шаблон:Math | |
| [[|en]] (Walsh matrix) | Квадратная матрица размера, равного степени двойки, состоящая из элементов +1 или −1. | |
| Z-матрица | Матрица, все недиагональные элементы которой меньше нуля. | |
| Ганкелева матрица | Квадратная матрица, у которой на каждой побочной диагонали стоят равные элементы. |
Постоянные матрицы
Матрицы, представленные ниже, характеризуются тем, что их элементы являются одними и теми же для всех возможных размеров матриц.
| Название | Описание | Условия на элементы | Примечания |
|---|---|---|---|
| Обменная матрица | Бинарная матрица, у которой на побочной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы нулевые. | <math>a_{ij} = \delta_{n + 1 - i, j}</math> | См. Матрица перестановки. |
| Матрица Гильберта | <math>a_{ij} = {(i+j-1)}^{-1}</math> | См. Ганкелева матрица. | |
| Единичная матрица | Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю. | <math>a_{ij} = \delta_{ij}</math> | |
| Матрица Лемера | aij = min(i, j) ÷ max(i, j) | См. положительную симметричную матрицу. | |
| Матрица единиц | Матрица, все элементы которой суть единицы. | <math>a_{ij} = 1</math> | |
| Матрица Паскаля | Матрица, состоящая из элементов треугольника Паскаля. | ||
| Матрица Паули | Блочная матрица, состоящая из блоков размера 2 × 2, каждый из которых представляет собой комплексную эрмитовую и унитарную матрицу. | ||
| Матрица Редхеффера | aij = 1, если i делится на j или если j = 1; в противном случае, aij = 0. | См. (0, 1)-матрица. | |
| Матрица сдвига | Матрица, у которой на одной из побочных диагоналях стоят единицы, а остальные элементы нулевые. | <math>a_{ij} = \delta_{i+1,j}</math> или <math>a_{ij} = \delta_{i-1,j}</math> | Умножением на эту матрицу элементы сдвигаются на одну позицию. |
| Нулевая матрица | Матрица, у которой все элементы нулевые. | <math>a_{ij} = 0</math> |
Преобразованные матрицы
Матрицы, удовлетворяющие условиям на произведения или обратные матрицы
| Название | Описание | Примечания |
|---|---|---|
| Идемпотентная матрица | Матрица A обладающая свойством A² = AA = A. | |
| Обратимая матрица | Квадратная, имеющая обратную, то есть, такую матрицу B, что AB = BA = I. | Обратимые матрицы образуют общую линейную группу. |
| Инволютивная матрица | Квадратная матрица A, обратная самой себе, то есть AA = I. | |
| Нильпотентная матрица | Квадратная матрица A такая, что Aq = 0 для некоторого положительного q. | Эквивалентно, все собственные значения A равны 0. |
| Нормальная матрица | Квадратная матрица, коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой: AA∗ = A∗A | Для таких матриц справедлива спектральная теорема. |
| Ортогональная матрица | Матрица, обратная своей транспонированной: A−1 = AT. | Такие матрицы образуют ортогональную группу. |
| Ортонормированная матрица | Матрица, столбцы которой являются ортонормированными векторами. | |
| Вырожденная матрица | Квадратная матрица, которая не является обратимой. | |
| Унимодулярная матрица | Квадратная матрица с целыми коэффициентами, определитель которой равен +1 или −1. | |
| Унипотентная матрица | Квадратная матрица, все собственные значения равны 1. | Эквивалентно, Шаблон:Nowrap нильпотентна. См. также унипотентная группа. |
| Вполне унимодулярная матрица | Матрица, любая обратимая подматрица которой является унимодулярной. | Используется линейном программировании при релаксации целых программ. |
| Весовая матрица | Квадратная матрица, элементы которой принадлежат множеству Шаблон:Nowrap}, так что AAT = wI для некоторого целого w. |
Матрицы, используемые в теории графов
- Матрица смежности
- Матрица бисмежности
- Матрица степени
- Матрица Эдмондса
- Матрица инцидентности
- Матрица Кирхгофа (матрица Лапласа)
- Матрица смежности Зейделя
- Матрица Татта
Матрицы, используемые в физике
- Матрицы Кабибо-Кобаяши-Москавы
- Гамма матрицы Дирака
- Матрицы Паули
- Матрицы Гелл-Манна
- S-матрица
- Матрица плотности
Ссылки
Литература
Шаблон:Rq Шаблон:Вектора и матрицы
