Русская Википедия:Список непериодичных наборов плиток

В геометрии замощение — это разбиение плоскости (или другой геометрической структуры) на замкнутые множества (называемые плитками) без промежутков и наложений (отличных от границ плиток)^[1]. Замощение считается периодическим, если существуют параллельные переносы в двух независимых направлениях, которые переносят плитки в точно такие же. Такое замощение состоит из одной фундаментальной единицы или примитивной ячейки, которые повторяются бесконечно в двух независимых направлениях^[2]. Пример такого замощения показан на иллюстрации справа. Замощения, которые нельзя построить из единственной примитивной ячейки, называются непериодичными. Если данный набор плиток позволяет только непериодичное замощение, такой набор называется непериодичным^[3].

Первая таблица объясняет сокращения, используемые во второй таблице. Вторая таблица содержит все известные непериодичные наборы плиток и даёт некоторую дополнительную базовую информацию о каждом наборе. Этот список плиток остаётся неполным.

Объяснения

Сокращение	Значение	Объяснение
E²	Евклидова плоскость	обычная плоскость
H²	Гиперболическая плоскость	плоскость, где не выполняется аксиома параллельности
E³	Евклидово трёхмерное пространство	пространство, определённое тремя перпендикулярными осями координат
ЛВП	Локально взаимно производные	говорят, что две плитки локально взаимно производные друг из друга, если одна плитка получается из другой простым локальным правилом (таким как удаление или вставка ребра)

Список

Рисунок	Название	Число плиток	Простран- ство	Дата публикации	Ссылки	Комментарии
Файл:Trilobite and cross.svg	Плитки «Трилобит» и «Крест»	2	E²	1999	^[4]	ЛВП с плитками «Стул» (квадрат с вырезанной четвертинкой)
Файл:Penrose P1.svg	Плитки Пенроуза P1	6	E²	1974^{[Note 1]}	^[5]	ЛВП с плитками P2 и P3, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Файл:Kite Dart.svg	Плитки Пенроуза P2	2	E²	1977^{[Note 2]}	^[6]	ЛВП с плитками P1 и P3, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Файл:Penrose rhombs.svg	Плитки Пенроуза P3	2	E²	1978^{[Note 3]}	^[7]	ЛВП с плитками P1 и P2, треугольниками Робинсона и плитками «звезда, лодка, шестиугольник»
Файл:Binary tiles.svg	Двойные плитки	2	E²	1988	^[8] ^[9]	Хотя плитки похожи на плитки из P3, плитки не являются ЛВП друг из друга. Мозаика разработана в попытках смоделировать расположение атомов в двойных сплавах
Файл:Robinson tiles.svg	Шаблон:Не переведено 5	6	E²	1971^{[Note 4]}	^[10]	Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечной иерархии квадратных решёток
Нет рисунка	Плитки Амманна A1	6	E²	1977^[11]	^[12]	Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечного иерархического двоичного дерева.
Файл:Ammann A2.svg	Плитки Амманна A2	2	E²	1986^{[Note 5]}	^[13]
Файл:Ammann A3.svg	Плитки Амманна A3	3	E²	1986^{[Note 5]}	^[13]
Файл:Ammann A4.svg	Плитки Амманна A4	2	E²	1986^{[Note 5]}	^[13]^[14]	ЛВП с плитками Амманна A5.
Файл:Ammann A5.svg	Плитки Амманна A5	2	E²	1982^{[Note 6]}	^[15] ^[16]	ЛВП с плитками Амманна A4.
Нет рисунка	Плитки Пенроуза «Шестиугольник, Треугольник»	2	E²	1997^[17]	^[17]^[18]
Нет рисунка	Плитки «Золотой треугольник»^[19]	10	E²	2001^[20]	^[21]	Дата соответствует времени открытия правил соединения. Двойственные плиткам Амманна A2
Файл:Socolar.svg	Плитки Соколара	3	E²	1989^{[Note 7]}	^[22]^[23]	ЛВП с плитками «Щит»
Файл:Shield.svg	Плитки «Щит»	4	E²	1988^{[Note 8]}	^[24]^[25]	ЛВП с плитками Соколара
Файл:Square triangle tiles.svg	Плитки «Квадрат, Треугольник»	5	E²	1986^[26]	^[27]
Файл:Self-replication of sphynx hexidiamonds.svg	Мозаика «Сфинкс»	91	E²		^[28]
Файл:Starfish ivyleaf hex.svg	Плитки «Звезда, лодка, шестиугольник»	3	E²		^[29]^[30]^[31]	ЛВП с плитками Пенроуза P1, P2, P3 и треугольниками Робинсона
Файл:Robinson triangle decompositions.svg	Треугольник Робинсона	4	E²		^[12]	Плитки ЛВП с плитками Пенроуза P1, P2, P3 и «Звезда, лодка, шестиугольник».
Файл:Danzer triangles.svg	Треугольники Данцера	6	E²	1996^[32]	^[33]
Файл:Pinwheel 1.svg	Плитки «Вертушка»		E²	1994^[34]^[35]	^[36]^[37]	Дата соответствует публикации правил соединения.
Файл:Socolar-Taylor tile.svg	Плитка Соколара — Тейлор	1	E²	2010	^[38]^[39]	Несвязная плитка. Непериодичная иерархическая мозаика.
Нет рисунка	Плитки Вана	20426	E²	1966	^[40]
Нет рисунка	Плитки Вана	104	E²	2008	^[41]
Нет рисунка	Плитки Вана	52	E²	1971^{[Note 4]}	^[42]	Плитки обеспечивают непериодичность путём образования бесконечной иерархии квадратных решёток
Файл:Wang 32 tiles.svg	Плитки Вана	32	E²	1986	^[43]	локально производные из плиток Пенроуза.
Нет рисунка	Плитки Вана	24	E²	1986	^[43]	локально производные из плиток A2
Файл:Wang 16 tiles.svg	Плитки Вана	16	E²	1986	Шаблон:Sfn ^[44]	Производные из плиток A2 и их полос Амманна
Файл:Wang 14 tiles.svg	Плитки Вана	14	E²	1996	^[45]^[46]
Файл:Wang 13 tiles.svg	Плитки Вана	13	E²	1996	^[47]^[48]
Нет рисунка	Плитка «Десятиугольная губка»	1	E²	2002	^[49]^[50]	Пористая плитка, состоящая из непересекающихся множеств точек
Нет рисунка	Строго непериодичные плитки Гудмана—Страусса	85	H²	2005	^[51]
Нет рисунка	Строго непериодичные плитки Гудмана—Страусса	26	H²	2005	^[52]
Файл:Goodman-Strauss hyperbolic tile.svg	Гиперболическая плитка Бороцки (Böröczky)	1	Hⁿ	1974^[53]	^[54]^[55]	Лишь слабо непериодична
Нет рисунка	Плитка Шмитта	1	E³	1988	^[56]	Шаблон:Не переведено 5
Файл:SCD tile.svg	Плитка Шмитта-Конвея-Данцера	1	E³		^[56]	Шаблон:Не переведено 5 и выпукла
Файл:Socolar Taylor 3D.svg	Плитка Соколара — Тейлор	1	E³	2010	^[38]^[39]	Периодична в третьем измерении
Нет рисунка	Ромбоэдр Пенроуза	2	E³	1981^[57]	^[58]^[59]^[60]^[61]^[62]^[63]^[64]
Файл:Nets for icosahedral aperiodic tile set.svg	Ромбоэдры Макея-Амманна	4	E³	1981	^[65]	Обладают икосаэдральной симметрией. Это декорированные ромбоэдры Пенроуза с правилами соединения, обеспечивающими непериодичность.
Нет рисунка	Кубики Вана	21	E³	1996	^[66]
Нет рисунка	Кубики Вана	18	E³	1999	^[67]
Нет рисунка	Тетраэдры Данцера	4	E³	1989^[68]	^[69]
Файл:I and L tiles.png	Плитки I и L	2	Eⁿ для всех n ≥ 3	1999	^[70]

Примечания

Шаблон:Примечания

Первые публикации

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Книга

Ссылки

Stephens P. W., Goldman A. I. The Structure of Quasicrystals
Levine D., Steinhardt P. J. Quasicrystals I Definition and structure
Tilings Encyclopedia

Шаблон:Геометрические мозаики Шаблон:Rq

↑ Шаблон:Статья(архив WebCite)
↑ Edwards S., Fundamental Regions and Primitive cells (архив WebCite)
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья (доступен препринт here)
↑ Mikhael J. Colloidal Monolayers On Quasiperiodic Laser Fields (см. страницу 23) (архив WebCite)
↑ Gardner M. Penrose tiles to trapdoor ciphers (см. страницу 86) Шаблон:Wayback (архив WebCite)
↑ Шаблон:Статья(архив WebCite)
↑ Шаблон:Статья (архив WebCite)
↑ Шаблон:Статья(архив WebCite)
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Книга
↑ ^12,0 ^12,1 Шаблон:Harvnb, согласно [1] Шаблон:Wayback; [2]
↑ ^13,0 ^13,1 ^13,2 Шаблон:Статья
↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann A4 Шаблон:Wayback
↑ Шаблон:Статья (архив WebCite)
↑ Harris E., Frettlöh D. Ammann-Beenker Шаблон:Wayback
↑ ^17,0 ^17,1 Шаблон:Книга Шаблон:Книга
↑ C. Goodman-Strauss, An aperiodic pair of tiles
↑ Плитка не соответствует равнобедренному «Золотому треугольнику» и является прямоугольным треугольником с золотым соотношением гипотенузы к катету
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Cite web
↑ The Socolar tiling
↑ Gähler F., Frettlöh D. Shield Шаблон:Wayback
↑ Шаблон:Статья(архив WebCite)
↑ Шаблон:Статья
↑ Hermisson J., Richard C., Baake M. A Guide to the Symmetry Structure of Quasiperiodic Tiling Classes Шаблон:Wayback (архив WebCite)
↑ Goodman-Strauss C., Aperiodic tilings (см. страницу 74) Шаблон:Wayback
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья (архив WebCite)
↑ Шаблон:Статья (архив WebCite)
↑ Шаблон:Статья 96j:52035
↑ Hayashi H., Kawachi Y., Komatsu K., Konda A., Kurozoe M., Nakano F., Odawara N., Onda R., Sugio A., Yamauchi M. Abstract:Notes on vertex atlas of planar Danzer tiling
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Книга
↑ ^38,0 ^38,1 Socolar J. E. S. and Taylor J. M. An aperiodic hexagonal tile
↑ ^39,0 ^39,1 Socolar J. E. S. and Taylor J. M. Forcing nonperiodicity with a single tile
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья
↑ ^43,0 ^43,1 Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Книга
↑ Kari J. A small aperiodic set of Wang tiles". Discrete Mathematics, 160(1-3):259-264
↑ Lagae A. Tile Based Methods in Computer Graphics Dissertation (см. страницу 149) Шаблон:Архивировано (архив WebCite)
↑ Culik K., Kari J. On aperiodic sets of Wang tilesШаблон:Недоступная ссылка
↑ Шаблон:Cite web
↑ Zhu F. The Search for a Universal Tile
↑ Шаблон:Cite web
↑ Goodman-Strauss C., A hierarchical strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья
↑ Dolbilin N., Frettlöh D. Properties of Böröczky tilings in high dimensional hyperbolic spaces (архив WebCite)
↑ ^56,0 ^56,1 Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Статья (архив WebCite)
↑ Meisterernst G. Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (Experiments on the growth kinetics of decagonal quasicrystals) Dissertation (см. страницу 18-19) (архив WebCite)
↑ Шаблон:Статья (архив WebCite)
↑ Inchbald G. A 3-D Quasicrystal Structure
↑ Шаблон:Статья (архив WebCite)
↑ Rudhart C. P. Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (On the numeric simulation of cracking in quasicrystals) см. страницу 11
↑ Шаблон:Статья (архив WebCite)
↑ Шаблон:Статья (архив WebCite)
↑ Шаблон:Статья
↑ Шаблон:Cite web
↑ Шаблон:Книга
↑ Шаблон:Статья
↑ Zerhusen A., Danzer’s three dimensional tiling
↑ Шаблон:Статья (доступен препринт here)

Ошибка цитирования Для существующих тегов <ref> группы «Note» не найдено соответствующего тега <references group="Note"/>

[1] Шаблон:Статья(архив WebCite)

[2] Edwards S., Fundamental Regions and Primitive cells (архив WebCite)

[3] Шаблон:Книга

[4] Шаблон:Статья (доступен препринт here)

[6] Mikhael J. Colloidal Monolayers On Quasiperiodic Laser Fields (см. страницу 23) (архив WebCite)

[8] Gardner M. Penrose tiles to trapdoor ciphers (см. страницу 86) Шаблон:Wayback (архив WebCite)

[Pentaplexity-10] Шаблон:Статья(архив WebCite)

[11] Шаблон:Статья (архив WebCite)

[12] Шаблон:Статья(архив WebCite)

[14] Шаблон:Статья

[15] Шаблон:Книга

[TilPat-16] 12,0 ^12,1 Шаблон:Harvnb, согласно [1] Шаблон:Wayback; [2]

[Aperiodic_tiles-18] 13,0 ^13,1 ^13,2 Шаблон:Статья

[19] Harris E., Frettlöh D. Ammann A4 Шаблон:Wayback

[21] Шаблон:Статья (архив WebCite)

[22] Harris E., Frettlöh D. Ammann-Beenker Шаблон:Wayback

[AperiodicPair-23] 17,0 ^17,1 Шаблон:Книга Шаблон:Книга

[24] C. Goodman-Strauss, An aperiodic pair of tiles

[25] Плитка не соответствует равнобедренному «Золотому треугольнику» и является прямоугольным треугольником с золотым соотношением гипотенузы к катету

[26] Шаблон:Статья

[27] Шаблон:Статья

[29] Шаблон:Cite web

[30] The Socolar tiling

[32] Gähler F., Frettlöh D. Shield Шаблон:Wayback

[33] Шаблон:Статья(архив WebCite)

[34] Шаблон:Статья

[35] Hermisson J., Richard C., Baake M. A Guide to the Symmetry Structure of Quasiperiodic Tiling Classes Шаблон:Wayback (архив WebCite)

[36] Goodman-Strauss C., Aperiodic tilings (см. страницу 74) Шаблон:Wayback

[37] Шаблон:Статья

[38] Шаблон:Статья (архив WebCite)

[39] Шаблон:Статья (архив WebCite)

[40] Шаблон:Статья 96j:52035

[41] Hayashi H., Kawachi Y., Komatsu K., Konda A., Kurozoe M., Nakano F., Odawara N., Onda R., Sugio A., Yamauchi M. Abstract:Notes on vertex atlas of planar Danzer tiling

[42] Шаблон:Статья

[43] Шаблон:Статья

[44] Шаблон:Статья

[45] Шаблон:Книга

[SocTay2010a-46] 38,0 ^38,1 Socolar J. E. S. and Taylor J. M. An aperiodic hexagonal tile

[SocTay2010b-47] 39,0 ^39,1 Socolar J. E. S. and Taylor J. M. Forcing nonperiodicity with a single tile

[48] Шаблон:Статья

[49] Шаблон:Книга

[50] Шаблон:Статья

[Aperiodic_sets_of_square_tiles-51] 43,0 ^43,1 Шаблон:Статья

[52] Шаблон:Книга

[53] Kari J. A small aperiodic set of Wang tiles". Discrete Mathematics, 160(1-3):259-264

[54] Lagae A. Tile Based Methods in Computer Graphics Dissertation (см. страницу 149) Шаблон:Архивировано (архив WebCite)

[55] Culik K., Kari J. On aperiodic sets of Wang tilesШаблон:Недоступная ссылка

[56] Шаблон:Cite web

[57] Zhu F. The Search for a Universal Tile

[58] Шаблон:Cite web

[59] Goodman-Strauss C., A hierarchical strongly aperiodic set of tiles in the hyperbolic plane

[60] Шаблон:Статья

[61] Шаблон:Статья Шаблон:Статья

[62] Шаблон:Статья

[63] Dolbilin N., Frettlöh D. Properties of Böröczky tilings in high dimensional hyperbolic spaces (архив WebCite)

[Radin_1995_3543–3548-64] 56,0 ^56,1 Шаблон:Статья

[65] Шаблон:Статья (архив WebCite)

[66] Meisterernst G. Experimente zur Wachstumskinetik Dekagonaler Quasikristalle (Experiments on the growth kinetics of decagonal quasicrystals) Dissertation (см. страницу 18-19) (архив WebCite)

[67] Шаблон:Статья (архив WebCite)

[68] Inchbald G. A 3-D Quasicrystal Structure

[69] Шаблон:Статья (архив WebCite)

[70] Rudhart C. P. Zur numerischen Simulation des Bruchs von Quasikristallen (On the numeric simulation of cracking in quasicrystals) см. страницу 11

[71] Шаблон:Статья (архив WebCite)

[72] Шаблон:Статья (архив WebCite)

[Lord1991-73] Шаблон:Статья

[74] Шаблон:Cite web

[75] Шаблон:Книга

[76] Шаблон:Статья

[77] Zerhusen A., Danzer’s three dimensional tiling

[78] Шаблон:Статья (доступен препринт here)

[1]

[2]

[3]

[4]

[Note 1]

[5]

[Note 2]

[6]

[Note 3]

[7]

[8]

[9]

[Note 4]

[10]

[11]

[12]

[Note 5]

[13]

[14]

[Note 6]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[Note 7]

[22]

[23]

[Note 8]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

Партнерские ресурсы
Криптовалюты	Обмен криптовалют - www.bestchange.ru Криптовалютная биржа CoinEx Криптовалютная биржа Binance HIVE OS - операционная система для майнинга e4pool - Мультивалютный пул для майнинга.
Магазины	AliExpress — глобальная виртуальная (в Интернете) торговая площадка, предоставляющая возможность покупать товары производителей из КНР; computeruniverse.net - Интернет-магазин компьютеров(Промо код 5 Евро на первую покупку:FWWC3ZKQ);
Хостинг	DigitalOcean - американский провайдер облачных инфраструктур, с главным офисом в Нью-Йорке и с центрами обработки данных по всему миру;
Разное	Викиум - Онлайн-тренажер для мозга Like Центр - Центр поддержки и развития предпринимательства. Gamersbay - лучший магазин по бустингу для World of Warcraft. Ноотропы OmniMind N°1 - Усиливает мозговую активность. Повышает мотивацию. Улучшает память. Санкт-Петербургская школа телевидения - это федеральная сеть образовательных центров, которая имеет филиалы в 37 городах России. Lingualeo.com — интерактивный онлайн-сервис для изучения и практики английского языка в увлекательной игровой форме. Junyschool (Джунискул) – международная школа программирования и дизайна для детей и подростков от 5 до 17 лет, где ученики осваивают компьютерную грамотность, развивают алгоритмическое и креативное мышление, изучают основы программирования и компьютерной графики, создают собственные проекты: игры, сайты, программы, приложения, анимации, 3D-модели, монтируют видео. Умназия - Интерактивные онлайн-курсы и тренажеры для развития мышления детей 6-13 лет SkillBox - это один из лидеров российского рынка онлайн-образования. Среди партнеров Skillbox ведущий разработчик сервисного дизайна AIC, медиа-компания Yoola, первое и самое крупное русскоязычное аналитическое агентство Tagline, онлайн-школа дизайна и иллюстрации Bang! Bang! Education, оператор PR-рынка PACO, студия рисования Draw&Go, агентство performance-маркетинга Ingate, scrum-студия Sibirix, имидж-лаборатория Персона. «Нетология» — это университет по подготовке и дополнительному обучению специалистов в области интернет-маркетинга, управления проектами и продуктами, дизайна, Data Science и разработки. В рамках Нетологии студенты получают ценные теоретические знания от лучших экспертов Рунета, выполняют практические задания на отработку полученных навыков, общаются с экспертами и единомышленниками. Познакомиться со всеми продуктами подробнее можно на сайте https://netology.ru, линейка курсов и профессий постоянно обновляется. StudyBay Brazil – это онлайн биржа для португалоговорящих студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт. Автор24 — самая большая в России площадка по написанию учебных работ: контрольные и курсовые работы, дипломы, рефераты, решение задач, отчеты по практике, а так же любой другой вид работы. Сервис сотрудничает с более 70 000 авторов. Более 1 000 000 работ уже выполнено. StudyBay – это онлайн биржа для англоязычных студентов и авторов! Студент получает уникальную работу любого уровня сложности и больше свободного времени, в то время как у автора появляется дополнительный заработок и бесценный опыт.

Русская Википедия:Список непериодичных наборов плиток

Содержание

Объяснения

Список

Примечания

Первые публикации

Литература

Ссылки

Навигация

Действия на странице

Действия на странице

Персональные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты