Русская Википедия:Среднее Колмогорова

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел <math>x_1,\ldots,x_n</math> — это величина вида

<math>(*)\qquad M(x_1,\ldots,x_n) = \varphi^{-1} \left(\frac1{n} \sum_{k=1}^n \varphi (x_k)\right) =\varphi^{-1} \left( \frac{ \varphi (x_1)+ \ldots +\varphi (x_n) }{n}\right)</math>

где <math>\varphi</math> — непрерывная строго монотонная функция, а <math>\varphi^{-1}</math> — функция, обратная к <math>\varphi</math>, причём аргументом этой обратной функции является средняя сумма в скобках.

Примеры

При выборе определённых функций <math>\varphi</math> среднее Колмогорова даёт различные классические средние:

• при <math>\varphi(x) = x </math> — среднее арифметическое;
• при <math>\varphi(x) = \ln x</math> — среднее геометрическое;
• при <math>\varphi(x) = \frac{1}{x}</math> — среднее гармоническое;
• при <math>\varphi(x) = x^2</math> — среднее квадратическое;
• при <math>\varphi(x) = x^\alpha, \ \alpha\ne 0</math> — среднее степенное.

Свойства

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал, что любая средняя величина <math>M(x_1,\ldots,x_n)</math> имеет вид <math>(*)</math>, если она обладает свойствами:

• непрерывности,
• монотонности по каждому <math>x_i</math>, <math>i=1,\ldots,n,</math>
• симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
• среднее от набора равных чисел равно их значению,
• замена значений всех чисел любой подгруппы в наборе <math>x_1,\ldots,x_n</math> на значение среднего для этой подгруппы не меняет значение среднего всего набора.
• Для выпуклых или вогнутых функций справедливо неравенство Йенсена.

Приложения

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.

Обобщения

Для непрерывно распределённой величины <math>f(x)</math> среднее Колмогорова на отрезке <math>[a;b]</math>:

<math>\qquad M_{[a;b]}(f(x)) = \varphi^{-1} \left(\frac1{b-a} \int_{a}^b \varphi (f(x)) dx\right).</math>

См. также

• Прикладная статистика
• Эконометрика