Русская Википедия:Среднее арифметическое взвешенное
Сре́днее арифмети́ческое взве́шенное — математическое понятие, обобщающее среднее арифметическое. Среднее арифметическое взвешенное набора чисел <math>x_1, \ldots, x_n</math> с весами <math>w_1, \ldots, w_n</math> определяется как
- <math>\bar{x} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n w_i \cdot x_i}{\sum\limits_{i=1}^n w_i}=
\dfrac{w_1x_1+w_2x_2+ \ldots + w_nx_n}{w_1+w_2+\ldots + w_n}.</math>
Основные числа и веса могут быть и вещественными, и комплексными. При этом сумма весов не может быть 0, но могут быть некоторые, не все веса, равные 0.
Если все веса <math>w_i</math> равны между собой, получается обычное среднее арифметическое. Существуют также взвешенные версии среднего геометрического и среднего гармонического, среднего степенного и их обобщения — среднего по Колмогорову.
Иногда сумма весов равна 1 (например, в голосованиях в процентах как весах), тогда формула упрощается:
- <math>\bar{x} = \sum\limits_{i=1}^n w_i \cdot x_i=w_1x_1+w_2x_2+ \ldots + w_nx_n.</math>
Примеры использования
В физике
- Средняя скорость тела
Если тело в течение промежутка времени <math>t_1</math> движется со скоростью <math>v_1</math>, затем в течение следующего промежутка времени <math>t_2</math> — со скоростью <math>v_2</math> и так далее до последнего промежутка времени <math>t_n</math>, в течение которого оно движется со скоростью <math>v_n</math>, то средняя скорость движения тела за суммарный промежуток времени (<math>t_1+t_2+\ldots+t_n</math>) будет равна взвешенному среднему арифметическому скоростей <math>v_1,\ldots,v_n</math> с набором весов <math>t_1,\ldots,t_n</math>:
- <math> v_{cp} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n t_i \cdot v_i}{\sum\limits_{i=1}^n t_i} =
\dfrac{t_1v_1+t_2v_2+ \ldots + t_nv_n}{t_1+t_2+\ldots + t_n}. </math>
- Центр масс
Другим примером использования данного понятия в физике является центр масс системы материальных точек, который задаётся формулой:
- <math> \vec r_c= \frac{\sum \limits_{i=1}^n m_i \vec r_i}{\sum \limits_{i=1}^n m_i}= \dfrac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+ \ldots + m_n\vec{r}_n}{m_1+m_2+\ldots + m_n},</math>
где <math> \vec r_c </math> — радиус-вектор центра масс,
<math> \vec r_i </math> — радиус-вектор Шаблон:Math-й точки системы,
<math>m_i </math> — масса Шаблон:Math-й точки.
- Температура смеси нескольких порций одной жидкости с разными температурами
- <math> t_{cp} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n m_i \cdot t_i}{\sum\limits_{i=1}^n m_i} =
\dfrac{m_1t_1+m_2t_2+ \ldots + m_nt_n}{m_1+m_2+\ldots + m_n}. </math>,
где <math> t_{cp} </math> — полученная температура смеси,
<math> t_i </math> — температура Шаблон:Math-й порции,
<math> m_i </math> — масса Шаблон:Math-й порции.
В экономике
- Средневзвешенный курс валюты
- <math> C_{cp} = \frac{ \sum\limits_{i=1}^n C_i \cdot b_i}{\sum\limits_{i=1}^n b_i}=\dfrac{b_1C_1+b_2C_2+ \ldots + b_nC_n}{b_1+b_2+\ldots + b_n}, </math>
где <math> C_{cp} </math> — средневзвешенный курс,
<math> C_i </math> — цена по Шаблон:Math-ой сделке,
<math> b_i </math> — объем Шаблон:Math-ой сделки.
См. также
Шаблон:Нет ссылок Шаблон:Среднее
