Русская Википедия:Среднее геометрическое взвешенное

Содержание

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Текст

Среднее геометрическое взвешенное — разновидность среднего значения, обобщение среднего геометрического. Для набора неотрицательных вещественных чисел <math>x_1, \ldots, x_n</math> с вещественными весами <math>w_1, \ldots, w_n</math>, такими что <math> \sum_{i=1}^n w_i \ne 0 </math>, определяется как

<math> \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right) </math>.

Приведённые формулы имеют смысл для любых значений весов, кроме случаев, когда некоторые <math> x_i=0 </math> и соответствующие веса <math> w_i \le 0 </math>. Поэтому, как правило, полагают, что все числа <math> x_i > 0 </math>. Также обычно рассматриваются неотрицательные веса.

Если веса <math>w_1, \ldots, w_n</math> нормированы к единице (то есть их сумма равна единице), то среднее геометрическое взвешенное принимает более простой вид:

<math> \bar{x} = \prod_{i=1}^n x_i^{w_i} = \exp \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i </math>.

Свойства

• Среднее арифметическое взвешенное логарифмов некоторых чисел равно логарифму среднего геометрического взвешенного этих чисел с теми же весами.
• Если все веса <math>w_i</math> (<math>i=1, 2, ..., n</math>) равны между собой, то среднее геометрическое взвешенное становится обычным средним геометрическим.

Пример использования

Пусть дано дискретное распределение вероятностей <math>P = \{p_i|\,i=1, 2, ..., N\}</math>. Обозначим через <math>\overline{N}</math> среднее геометрическое взвешенное от величин <math>1/p_i</math> с весами <math>p_i</math>, т.е.

<math>\overline{N}=\prod_{i=1}^N {(1/p_i)}^{p_i}</math>.

Тогда энтропию Шеннона распределения <math>P</math> можно записать в виде

<math>H(P)=\log \overline{N}=-\sum_{i=1}^N p_i \log p_i</math>.

Величина <math>\overline{N}</math> интерпретируется как эффективное количество состояний системы.

Примечания

Шаблон:Rq Шаблон:Среднее